mechanical-electrical-analogy

פרק 1

מבוא — הרעיון הגדול

נתחיל מהבהרה חשובה, כי היא מונעת בלבול שמלווה רבים לאורך כל הנושא: הרעיון אינו שהמערכת המכנית היא "באמת" חשמלית, או שיש בה זרמים ומתחים נסתרים. גוף שנע על מסילה נשאר גוף מכני לחלוטין. הטענה היחידה היא מתמטית: המשוואות הדיפרנציאליות שמתארות מערכת מכנית ליניארית הן מאותו מבנה בדיוק כמו המשוואות שמתארות מעגל חשמלי ליניארי.

וזו טענה בעלת ערך מעשי עצום. יש בידינו ארגז כלים עשיר ומלוטש לניתוח מעגלים — חוקי קירכהוף, אימפדנסים, חיבור טורי ומקבילי, פתרון במישור לפלס. אם נצליח לתרגם מערכת מכנית למעגל חשמלי שקול, נוכל להפעיל את כל הכלים האלה כדי לפתור אותה, בלי לגזור מחדש את משוואות התנועה בכל פעם.

המטרה בניסוח אחד

המטרה היא לבנות מעגל חשמלי שקול שבו המשתנים החשמליים (מתח, זרם) מייצגים משתנים מכניים (מהירות, כוח). פתרון המעגל הוא פתרון המערכת המכנית. אפשר אפילו לדלג על ציור המעגל ולפתור ישירות את "המעגל המכני" באמצעות אותם הכלים.

לאורך העמוד נעבוד עם מוסכמה אחת ועקבית של אנלוגיה (מהירות↔מתח, כוח↔זרם). בפרק 14 נזכיר שקיימת גם אנלוגיה חלופית, אך לא נשתמש בה — עקביות חשובה כאן יותר מכל דבר אחר.

פרק 2

מערכות מכניות קוויות

מערכת מכנית קווית (Translational) עוסקת בגופים הנעים לאורך קו ישר. שלושת המשתנים המרכזיים הם:

מיקום — $$x(t)$$ : המיקום של הגוף על הציר.
מהירות — $v(t)=\dot{x}(t)$ : נגזרת המיקום בזמן.
כוח — $$f(t)$$ : הכוח הפועל על הגוף או המופעל על ידו.

חוק ניוטון השני קושר בין סכום הכוחות הפועלים על גוף לבין תאוצתו. עבור מסה קבועה:

\sum f = M\,\dot{v} = M\,\ddot{x}

שלושת הרכיבים המכניים הבסיסיים — מסה, מרסן וקפיץ — מגדירים כל אחד קשר משלו בין כוח לבין תנועה. נציג אותם בזה אחר זה.

א. מסה (Mass)

הכוח הדרוש כדי להאיץ מסה פרופורציוני לקצב שינוי המהירות:

f = M\,\frac{dv}{dt}

מסה מתנגדת לשינוי מהירות. ככל שהמסה גדולה יותר, דרוש כוח גדול יותר כדי לשנות את מהירותה באותו קצב. זוהי בדיוק תכונת האינרציה.

ב. מרסן ויסקוזי (Damper)

מרסן ויסקוזי (בולם זעזועים לינארי) מפעיל כוח הפרופורציוני למהירות:

f = B\,v

כאשר המרסן מחובר בין שני גופים נעים, הכוח תלוי במהירות היחסית ביניהם:

f = B\,(v_1 - v_2)

המרסן "מרגיש" רק את קצב השינוי של אורכו, כלומר את ההפרש במהירויות בין שני קצותיו. לנקודה זו נקדיש פרק שלם (פרק 10), כי היא מקור נפוץ לבלבול.

ג. קפיץ (Spring)

קפיץ מפעיל כוח מחזיר הפרופורציוני למידת ההעתק שלו (חוק הוק):

f = K\,x

מכיוון שבאנלוגיה נעבוד עם מהירות ולא עם מיקום, נגזור את שני האגפים בזמן. כיוון ש־ $v=\dot{x}$ , נקבל:

\frac{df}{dt} = K\,\frac{dx}{dt} = K\,v \qquad\Longrightarrow\qquad v = \frac{1}{K}\,\frac{df}{dt}

כלומר הקפיץ תלוי בהעתק — שהוא האינטגרל של המהירות. זו תכונה שתתגלה כחשובה מאוד כשנחפש לו רכיב חשמלי מקביל.

פרק 3

האנלוגיה שבה משתמשים כאן

לב הנושא הוא בחירת ההתאמה בין המשתנים המכניים לחשמליים. בעמוד זה (ובתרגול הנוכחי) נעבוד עם ההתאמה הבאה:

\(v\)

מהירות ⟷ מתח

\(V\)

\(f\)

כוח ⟷ זרם

\(I\)

במילים: מהירות מכנית שקולה למתח חשמלי, ו־כוח מכני שקול לזרם חשמלי.

▲ שים לב — נקודת בלבול מרכזית

המתח בצומת במעגל השקול אינו מייצג מיקום, אלא מהירות. אם במעגל כתוב $$V_1$$ , המשמעות המכנית שלו היא המהירות $V_1 \equiv v_1$ של הגוף המתאים — ולא המיקום שלו. קל מאוד לטעות ולחשוב שמתח = מיקום, כי מתח מרגיש "סטטי"; אבל כאן מתח = מהירות.

כל שאר ההתאמות בטבלה (פרק 5) נגזרות מהבחירה הבסיסית הזו. בפרקים הבאים נראה מדוע דווקא היא, ולמה כל רכיב מכני הופך לרכיב חשמלי מסוים.

פרק 4

למה האנלוגיה הזאת הגיונית? — דרך ההספק

הבחירה במהירות↔מתח וכוח↔זרם אינה שרירותית ואינה רק "טריק" מתמטי שעובד. יש לה הצדקה פיזיקלית עמוקה, והיא נעוצה במושג ההספק. נזכיר כיצד מחושב הספק בכל אחד מהתחומים.

\text{למשח:}\quad P = V\,I

\text{תיווק הקינכמ:}\quad P = f\,v

\text{תיבוביס הקינכמ:}\quad P = \tau\,\omega

שים לב לצורה המשותפת: בכל תחום ההספק הוא מכפלה של שני משתנים — אחד "מסוג מתח" ואחד "מסוג זרם". לכן הבחירה

V \leftrightarrow v, \qquad I \leftrightarrow f

שומרת בדיוק על מבנה ההספק:

V\,I \;\leftrightarrow\; v\,f

◆ אינטואיציה

כשההתאמה שומרת על ההספק, היא שומרת גם על האנרגיה — ואנרגיה היא הדבר הפיזיקלי שבאמת "עובר" במערכת. לכן המעגל השקול אינו רק מתאר נכון את המשוואות; הוא גם מתאר נכון את זרימת האנרגיה. זה מה שנותן לאנלוגיה היגיון פיזיקלי אמיתי, ולא רק התאמה טכנית של סימנים.

פרק 5

טבלת מעבר בין מכניקה לחשמל

לפני שנצדיק כל שורה בנפרד, הנה התמונה המלאה של ההתאמה עבור מערכת קווית. שמור את הטבלה לנגד עיניך — היא הליבה המעשית של כל הנושא.

אנלוגיה: מערכת מכנית קווית ↔ מעגל חשמלי
מערכת מכנית קווית	מעגל חשמלי
מהירות $$v$$	מתח $$V$$
כוח $$f$$	זרם $$I$$
מסה $$M$$	קבל $$C = M$$
מרסן $$B$$	נגד $R = \tfrac{1}{B}$
קפיץ $$K$$	סליל $L = \tfrac{1}{K}$
כוח חיצוני $$f(t)$$	מקור זרם $$I(t)$$

▲ שים לב להיפוך בערכים

מסה עוברת לקבל עם אותו ערך מספרי ( $$C=M$$ ), אבל מרסן וקפיץ עוברים לרכיבים עם ערך הפוך: $$R=1/B$$ ו־ $$L=1/K$$ . מרסן חזק ( $$B$$ גדול) הופך לנגד קטן, וקפיץ קשיח ( $$K$$ גדול) הופך לסליל קטן. שלושת הפרקים הבאים מסבירים בדיוק מאיפה ההיפוכים האלה מגיעים.

פרק 6

למה מסה היא קבל?

נשווה את משוואת המסה למשוואת הקבל. במכניקה, הקשר בין כוח למהירות במסה הוא:

f = M\,\frac{dv}{dt}

בחשמל, הקשר בין זרם למתח בקבל הוא:

I = C\,\frac{dV}{dt}

שתי המשוואות זהות במבנן. לפי האנלוגיה שלנו $f \leftrightarrow I$ ו־ $v \leftrightarrow V$ , ההשוואה מיידית ונותנת:

\[ C = M \]

◆ אינטואיציה אנרגטית

הן מסה והן קבל הם אברי אגירת אנרגיה, ושתי נוסחאות האנרגיה שלהם זהות בצורתן:

E_{\text{הסמ}} = \tfrac{1}{2}\,M\,v^2 \qquad\longleftrightarrow\qquad E_{C} = \tfrac{1}{2}\,C\,V^2

מסה אוגרת אנרגיה קינטית לפי מהירותה; קבל אוגר אנרגיה לפי המתח עליו. בדיוק כפי שאי אפשר לשנות מהירות של מסה באופן מיידי (זה ידרוש כוח אינסופי), אי אפשר לשנות מתח על קבל באופן מיידי (זה ידרוש זרם אינסופי).

פרק 7

למה מרסן הוא נגד?

משוואת המרסן היא אלגברית (ללא נגזרות):

f = B\,v

נציב את האנלוגיה $f \leftrightarrow I$ , $v \leftrightarrow V$ :

I = B\,V

נשווה זאת לחוק אוהם עבור נגד, בצורתו שמבטאת זרם באמצעות מתח:

I = \frac{V}{R}

השוואת שני הביטויים ל־ $$I$$ נותנת:

\frac{1}{R} = B \qquad\Longrightarrow\qquad R = \frac{1}{B}

▲ שים לב

המרסן $$B$$ אינו הופך לנגד שערכו $$B$$ , אלא לנגד שערכו $$1/B$$ . ההיפוך נובע מכך שהמרסן מבטא זרם כפונקציה של מתח ( $$I=BV$$ ), בעוד שהתנגדות מוגדרת בכיוון ההפוך ( $$V=RI$$ ).

◆ אינטואיציה

גם מרסן וגם נגד הם אברים מפזרי אנרגיה — הם ממירים אנרגיה מכנית/חשמלית לחום ולא אוגרים אותה. לכן טבעי ששניהם מיוצגים על ידי הקשר האלגברי הפשוט ביותר (ללא נגזרת או אינטגרל), וששניהם קובעים כמה "התנגדות" המערכת מציבה לזרימה.

פרק 8

למה קפיץ הוא סליל?

נצא ממשוואת הקפיץ ונגזור אותה בזמן, כפי שעשינו בפרק 2:

f = K\,x \qquad\Longrightarrow\qquad \frac{df}{dt} = K\,\frac{dx}{dt} = K\,v

נבודד את המהירות:

v = \frac{1}{K}\,\frac{df}{dt}

כעת נשווה לסליל. בסליל, הקשר בין מתח לזרם הוא:

V = L\,\frac{dI}{dt}

לפי האנלוגיה $v \leftrightarrow V$ ו־ $f \leftrightarrow I$ , משוואת הקפיץ $v = \tfrac{1}{K}\tfrac{df}{dt}$ הופכת ל־ $V = \tfrac{1}{K}\tfrac{dI}{dt}$ . השוואה ישירה למשוואת הסליל נותנת:

L = \frac{1}{K}

▲ שים לב

הקפיץ $$K$$ אינו הופך לסליל שערכו $$K$$ , אלא לסליל שערכו $$1/K$$ . קפיץ קשיח מאוד ( $$K$$ גדול) מתנהג כמו סליל קטן, ולהיפך.

◆ אינטואיציה

קפיץ אוגר אנרגיה פוטנציאלית כשמותחים אותו; סליל אוגר אנרגיה בשדה המגנטי כשזורם בו זרם. שניהם אברי אגירה — אך בניגוד למסה/קבל שאוגרים לפי המשתנה מסוג המתח, הקפיץ והסליל אוגרים לפי המשתנה מסוג הזרם (כוח/זרם). זו הסיבה שהם "בני הזוג" הטבעיים באנלוגיה.

פרק 9

איך בונים מעגל שקול?

כעת שיש בידינו את מילון התרגום, נציג שיטה מסודרת בת חמישה שלבים להמרת כל מערכת מכנית קווית למעגל חשמלי שקול.

מזהים את הגופים הנעים

עוברים על המערכת ומגדירים לכל גוף נע מהירות משלו: $v_1, v_2, \dots$ כל מהירות כזו נמדדת ביחס לקרקע (מהירות אפס).

כל גוף נע הופך לצומת

כל גוף נע במערכת המכנית מיוצג על ידי צומת במעגל, שהמתח בו הוא מהירות הגוף: $V_1 \equiv v_1,\; V_2 \equiv v_2,\dots$

קרקע = מהירות אפס

קיר, רצפה או כל גוף קבוע שאינו נע הם בעלי מהירות אפס, ולכן הם האדמה (ground) של המעגל — הצומת שהמתח בו הוא אפס.

בודקים בין מה מחובר כל רכיב

רכיב המחובר בין גוף נע לבין קרקע ⇐ מחובר בין הצומת המתאים לאדמה. רכיב המחובר בין שתי מסות נעות ⇐ מחובר בין שני הצמתים המתאימים.

מחליפים רכיבים לפי הטבלה

מסה ⇐ קבל ( $$C=M$$ ); מרסן ⇐ נגד ( $$R=1/B$$ ); קפיץ ⇐ סליל ( $$L=1/K$$ ); כוח חיצוני ⇐ מקור זרם ( $$I(t)=f(t)$$ ).

איור 1: למעלה — מערכת מכנית קווית: שתי מסות

\(M_1,M_2\)

, מרסן

\(B_3\)

ביניהן, קפיצים

\(K_1,K_2\)

אל הקירות, וחיכוך ויסקוזי

\(B_1,B_2\)

אל הרצפה. למטה — המעגל השקול: כל מסה היא קבל אל האדמה, כל קפיץ וחיכוך אל הקיר/רצפה מחובר בין הצומת לאדמה, והמרסן שבין המסות מחובר בין שני הצמתים

\(V_1,V_2\)

קריאת המעגל

שים לב: $$K_1$$ נמצא בין הקיר (מהירות אפס) למסה $$M_1$$ , ולכן הסליל שלו מחובר בין הצומת $$V_1$$ לאדמה. לעומת זאת המרסן $$B_3$$ נמצא בין שתי המסות, ולכן הנגד שלו מחובר בין $$V_1$$ לבין $$V_2$$ — לא לאדמה. אחרי בניית המעגל, פתרון המתחים $$V_1,V_2$$ נותן ישירות את המהירויות המבוקשות במערכת המכנית.

פרק 10

למה עבור שתי מסות משתמשים במהירות יחסית?

כשמרסן מחובר בין שתי מסות נעות, הוא לא "מרגיש" את המהירות המוחלטת של אף אחת מהן ביחס לקרקע. מה שהוא מרגיש הוא קצב שינוי האורך שלו — כמה מהר שני קצותיו מתקרבים או מתרחקים זה מזה.

אם קצה אחד מחובר למסה $$M_1$$ (במיקום $$x_1$$ ) והקצה השני למסה $$M_2$$ (במיקום $$x_2$$ ), אז ההעתק היחסי שלו הוא:

x_{\text{rel}} = x_1 - x_2

נגזור בזמן כדי לקבל את המהירות היחסית:

v_{\text{rel}} = \dot{x}_{\text{rel}} = v_1 - v_2

ולכן הכוח שהמרסן מפעיל הוא:

f_B = B\,(v_1 - v_2)

◆ אינטואיציה

אם שתי המסות זזות יחד בדיוק באותה מהירות, כלומר $$v_1 = v_2$$ , אז אורך המרסן אינו משתנה כלל — הוא נע כגוף קשיח יחד עם שתי המסות. במקרה כזה $$v_1-v_2=0$$ ולכן $$f_B=0$$ : אין כלל כוח ריסון. הריסון נוצר אך ורק כאשר יש הפרש מהירויות, כלומר כאשר המרסן מתכווץ או נמתח.

פרק 11

איך זה נראה במעגל החשמלי?

נראה שהתמונה החשמלית משקפת בדיוק את המהירות היחסית. אם יש נגד המחובר בין שני צמתים שהמתחים בהם הם $$V_1$$ ו־ $$V_2$$ , הזרם דרכו נקבע על ידי הפרש המתחים (חוק אוהם):

i = \frac{V_1 - V_2}{R}

עבור המרסן, ראינו ש־ $$R = 1/B$$ . נציב:

i = B\,(V_1 - V_2)

ובחזרה לשפה המכנית, לפי $i \leftrightarrow f$ ו־ $V \leftrightarrow v$ :

f = B\,(v_1 - v_2)

ההקבלה המושלמת

הפרש המתחים על הנגד במעגל מייצג בדיוק את המהירות היחסית של המרסן במערכת המכנית. זו בדיוק הסיבה שרכיב המחובר בין שתי מסות נעות מתורגם לרכיב המחובר בין שני צמתים (ולא לאדמה): בשני המקרים מה שקובע הוא ההפרש בין שני הגדלים, לא ערכו המוחלט של אף אחד מהם.

פרק 12

מערכות מכניות סיבוביות

מערכות מכניות סיבוביות (Rotational) מתארות גופים קשיחים המסתובבים סביב ציר. החוקים השולטים בהן זהים במבנם למערכות הקוויות — רק שמות המשתנים מתחלפים. ההמרה למעגל חשמלי מתבצעת בדיוק באותו אופן.

מעבר בין משתנים קוויים לסיבוביים
גודל קווי	גודל סיבובי מקביל
מיקום $$x(t)$$	זווית $\theta(t)$
מהירות $$v(t)$$	מהירות זוויתית $\omega(t)=\dot{\theta}(t)$
כוח $$f(t)$$	מומנט $\tau(t)$
מסה $$M$$	מומנט אינרציה $$J$$

חוק ניוטון לסיבוב מקביל לחלוטין לגרסה הקווית — מומנט אינרציה כפול תאוצה זוויתית:

\tau = J\,\frac{d\omega}{dt}

ומכאן, האנלוגיה החשמלית עבור מערכת סיבובית נראית כך:

אנלוגיה: מערכת מכנית סיבובית ↔ מעגל חשמלי
מכניקה סיבובית	מעגל חשמלי
מהירות זוויתית $\omega$	מתח $$V$$
מומנט $\tau$	זרם $$I$$
מומנט אינרציה $$J$$	קבל $$C = J$$
חיכוך סיבובי $$B$$	נגד $R = \tfrac{1}{B}$
קפיץ פיתול $$K$$	סליל $L = \tfrac{1}{K}$

אותה שיטה בדיוק

כל חמשת שלבי הבנייה מפרק 9 תקפים גם כאן: כל גוף מסתובב הופך לצומת שהמתח בו הוא $\omega$ , גוף קבוע (קיר) הוא אדמה, מומנט חיצוני הוא מקור זרם, וכן הלאה. שים לב רק לכיווני המומנטים — הם נשמרים ככיווני הזרמים במעגל.

פרק 13

מומנט, מומנט פיתול ומוט פיתול

לפני שנמשיך, נבהיר שלושה מושגים סיבוביים שקל להתבלבל ביניהם.

מומנט (Torque)

מומנט הוא היכולת של כוח לגרום לסיבוב. הוא נקבע על ידי מכפלה וקטורית של זרוע הכוח בכוח עצמו:

\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F}

כאשר הכוח מאונך לזרוע, הגודל מצטמצם למכפלה פשוטה:

\tau = r\,F

מומנט פיתול

מומנט פיתול הוא מומנט שמנסה לסובב גוף סביב הציר של עצמו — לפתל אותו. קפיץ פיתול (קפיץ סיבובי) מקיים קשר מקביל לחוק הוק, אך עם זווית במקום העתק:

\tau = K\,\theta

מוט פיתול

מוט פיתול הוא רכיב מכני שמתנהג כמו קפיץ סיבובי: כאשר מסובבים קצה אחד שלו ביחס לקצה השני, המוט מתפתל ומפעיל מומנט מחזיר, המנסה להחזירו למצבו הרגוע.

◆ אינטואיציה

מוט פיתול הוא בעצם קפיץ, אבל במקום להימתח בקו ישר הוא "מתפתל" בסיבוב. בדיוק כפי שקפיץ קווי אוגר אנרגיה כשמותחים אותו, מוט פיתול אוגר אנרגיה כשמפתלים אותו — ולכן במעגל השקול הוא, כמו כל קפיץ, מיוצג על ידי סליל.

פרק 14

האם יש אנלוגיות נוספות?

כן. קיימות שתי אנלוגיות נפוצות בין מכניקה לחשמל, ושתיהן תקפות. חשוב להכיר את קיומן כדי לא להתבלבל כשנתקלים בהן בספרים שונים.

האנלוגיה של העמוד הזה

v \leftrightarrow V, \qquad f \leftrightarrow I

נקראת לעיתים mobility analogy. בה מתקיים:

M \leftrightarrow C, \qquad B \leftrightarrow \frac{1}{R}, \qquad K \leftrightarrow \frac{1}{L}

האנלוגיה החלופית

f \leftrightarrow V, \qquad v \leftrightarrow I

כאן התפקידים מתחלפים, ומתקבל:

M \leftrightarrow L, \qquad B \leftrightarrow R, \qquad K \leftrightarrow \frac{1}{C}

▲ שים לב — עבוד עם אנלוגיה אחת בלבד

שתי האנלוגיות נכונות, כי שתיהן שומרות על ההספק ( $VI \leftrightarrow fv$ ). אבל אין לערבב ביניהן באותה בעיה. בעמוד הזה ובתרגול הנוכחי עובדים אך ורק עם:

v \leftrightarrow V, \qquad f \leftrightarrow I

פרק 15

חיבור מקבילי וטורי — משתני across ו־through

חיבור טורי ומקבילי הוא מקור בלבול נפוץ, ולכן נגדיר אותו במדויק. המפתח הוא להבחין בין שני סוגים של משתנים בכל מערכת פיזיקלית.

משתנה across (רוחבי)

משתנה שהוא הפרש בין שתי נקודות. הוא נמדד "על פני" רכיב, בין שני קצותיו.

משתנה through (זורם)

משתנה שעובר דרך רכיב. הוא זהה בכניסה וביציאה של הרכיב.

כך מסתדרים המשתנים בשני התחומים:

סיווג המשתנים לפי across / through
תחום	משתנה across	משתנה through
חשמל	מתח $$V$$	זרם $$I$$
מכניקה (באנלוגיה זו)	מהירות יחסית $$v_1 - v_2$$	כוח $$f$$

למה זה קריטי

ההגדרה של "טורי" ו"מקבילי" נשענת כולה על ההבחנה הזו. מקבילי מוגדר לפי זהות המשתנה across, וטורי לפי זהות המשתנה through. שני הפרקים הבאים מפרטים כל אחד מהם.

פרק 16

חיבור מקבילי

הגדרה: שני רכיבים מחוברים במקביל אם הם מחוברים בין אותן שתי נקודות (צמתים). מכאן שיש להם אותו משתנה across.

בחשמל

לשני רכיבים במקביל יש אותו מתח, והזרמים דרכם מסתכמים:

V_1 = V_2, \qquad I_{\text{total}} = I_1 + I_2

במכניקה

לשני רכיבים במקביל יש אותה מהירות יחסית, והכוחות בהם מסתכמים:

v_{\text{rel},1} = v_{\text{rel},2}, \qquad f_{\text{total}} = f_1 + f_2

▲ שים לב

מתח לא "עובר דרך" נגד. מתח הוא הפרש בין שתי נקודות, והוא נמדד על הרכיב. אמירה כמו "המתח עובר דרך הנגד" היא שגויה מבחינה מושגית, וגורמת לבלבול בין טורי למקבילי.

פרק 17

חיבור טורי

הגדרה: שני רכיבים מחוברים בטור אם הם מחוברים אחד אחרי השני, ובצומת שביניהם אין הסתעפות ואין מקור חיצוני. מכאן שאותו משתנה through עובר בשניהם.

בחשמל

בשני רכיבים בטור זורם אותו זרם, והמתחים עליהם מסתכמים:

I_1 = I_2, \qquad V_{\text{total}} = V_1 + V_2

במכניקה

בשני רכיבים בטור פועל אותו כוח, והמהירויות היחסיות מסתכמות:

f_1 = f_2, \qquad v_{\text{total}} = v_1 + v_2

▲ שים לב — הטעות הנפוצה ביותר

זה לא נכון לומר שטורי הוא כל מצב שבו "משתנה כלשהו זהה". גם ברכיבים במקביל יש מתח זהה — ועדיין הם אינם בטור! ההבדל חד:

מקבילי מוגדר לפי זהות משתנה across (מתח / מהירות יחסית).
טורי מוגדר לפי זהות משתנה through (זרם / כוח).

פרק 18

סיכום

האנלוגיה בין מערכות מכניות למעגלים חשמליים מאפשרת לנו לפתור מערכות מכניות באמצעות ארגז הכלים העשיר של תורת המעגלים. הבסיס לכל הנושא הוא ההתאמה שבה עבדנו לאורך העמוד:

v \leftrightarrow V

f \leftrightarrow I

M \leftrightarrow C

B \leftrightarrow \tfrac{1}{R}

K \leftrightarrow \tfrac{1}{L}

ובמערכת סיבובית, אותה התאמה עם המשתנים המקבילים:

\omega \leftrightarrow V

\tau \leftrightarrow I

J \leftrightarrow C

1. המערכת אינה חשמלית — רק המשוואות זהות במבנן.

2. מתח בצומת = מהירות (לא מיקום!).

3. הבחירה שומרת על ההספק, ולכן על האנרגיה.

4. מסה→קבל, מרסן→נגד, קפיץ→סליל.

5. רכיב בין מסות → בין צמתים; רכיב אל קיר → אל אדמה.

6. מקבילי לפי across, טורי לפי through.

המשפט המרכזי

המעגל השקול אינו משנה את הפיזיקה של הבעיה. הוא רק מאפשר לנו לפתור את אותה מערכת משוואות בדיוק, באמצעות כלים מוכרים ונוחים של מעגלים חשמליים — במקום לגזור ולפתור את משוואות התנועה מאפס.

המשך מומלץ

אחרי שמבינים את מנגנון האנלוגיה, כדאי לתרגל על מערכות עם מספר מסות וקפיצים, לבנות את המעגל השקול, ולפתור אותו במישור לפלס — בדיוק כפי שהיינו פותרים כל מעגל חשמלי אחר.

מערכת מכנית קווית	מעגל חשמלי
מהירות $\(v\)$	מתח $\(V\)$
כוח $\(f\)$	זרם $\(I\)$
מסה $\(M\)$	קבל $\(C = M\)$
מרסן $\(B\)$	נגד $R = \tfrac{1}{B}$
קפיץ $\(K\)$	סליל $L = \tfrac{1}{K}$
כוח חיצוני $\(f(t)\)$	מקור זרם $\(I(t)\)$

אנלוגיה בין מערכות מכניות למעגלים חשמליים

מבוא — הרעיון הגדול

המטרה בניסוח אחד

מערכות מכניות קוויות

א. מסה (Mass)

ב. מרסן ויסקוזי (Damper)

ג. קפיץ (Spring)

האנלוגיה שבה משתמשים כאן

▲ שים לב — נקודת בלבול מרכזית

למה האנלוגיה הזאת הגיונית? — דרך ההספק

◆ אינטואיציה

טבלת מעבר בין מכניקה לחשמל

▲ שים לב להיפוך בערכים

למה מסה היא קבל?

◆ אינטואיציה אנרגטית

למה מרסן הוא נגד?

▲ שים לב

◆ אינטואיציה

למה קפיץ הוא סליל?

▲ שים לב

◆ אינטואיציה

איך בונים מעגל שקול?

מזהים את הגופים הנעים

כל גוף נע הופך לצומת

קרקע = מהירות אפס

בודקים בין מה מחובר כל רכיב

מחליפים רכיבים לפי הטבלה

קריאת המעגל

למה עבור שתי מסות משתמשים במהירות יחסית?

◆ אינטואיציה

איך זה נראה במעגל החשמלי?

ההקבלה המושלמת

מערכות מכניות סיבוביות

אותה שיטה בדיוק

מומנט, מומנט פיתול ומוט פיתול

מומנט (Torque)

מומנט פיתול

מוט פיתול

◆ אינטואיציה

האם יש אנלוגיות נוספות?

האנלוגיה של העמוד הזה

האנלוגיה החלופית

▲ שים לב — עבוד עם אנלוגיה אחת בלבד

חיבור מקבילי וטורי — משתני across ו־through

משתנה across (רוחבי)

משתנה through (זורם)

למה זה קריטי

חיבור מקבילי

בחשמל

במכניקה

▲ שים לב

חיבור טורי

בחשמל

במכניקה

▲ שים לב — הטעות הנפוצה ביותר

סיכום

המשפט המרכזי

המשך מומלץ

hashmelamed