לפלס במעגלים חשמליים

פרק 1

למה לפלאס? מהמד״ר אל האלגברה

בפרקים על מעגלים מסדר ראשון ושני ראינו שכל מעגל מוליד משוואה דיפרנציאלית. כדי לפתור אותה נדרשנו לנחש פתרון הומוגני, לנחש פתרון פרטי בצורת העירור, לחלץ נגזרות ברגע $$0^+$$ , ולהתאים קבועים. זה עובד — אבל זה ארוך, ולכל צורת עירור צריך ניחוש חדש. עבור הלם $\delta(t)$ אפילו קשה לנחש פתרון פרטי כלל.

התמרת לפלאס מציעה דרך אחרת לגמרי. במקום להיאבק עם הנגזרות בתחום הזמן, היא ממירה את כל הבעיה לתחום חדש — מישור $$s$$ — שבו גזירה הופכת לכפל ואינטגרציה הופכת לחילוק. המד״ר הופכת למשוואה אלגברית פשוטה, פותרים אותה כמו כל משוואה (חיבור, חיסור, כפל, חילוק), ואז חוזרים לתחום הזמן בעזרת התמרה הפוכה.

שלוש המעלות הגדולות של השיטה

ראשית, אין צורך לנחש פתרון פרטי — הוא נופל מאליו מהאלגברה. שנית, תנאי ההתחלה נכנסים אוטומטית לתוך המשוואה כבר בשלב ההמרה, ולכן אין צורך לפצל בנפרד ל־ZIR ול־ZSR (אם כי עדיין אפשר). שלישית, כל עירור — מדרגה, רמפה, סינוס, אקספוננט, ואפילו הלם — מטופל באותה דרך בדיוק. שיטה אחת לכל המקרים.

התמונה הגדולה — מסלול הפתרון

כדאי להחזיק בראש את התרשים הבא לאורך כל העמוד. זהו "המעקף" שלפלאס מציעה: במקום לפתור את הבעיה הקשה ישירות בתחום הזמן (החץ האפור), עוקפים דרך מישור $$s$$ — ממירים, פותרים אלגברית, וממירים בחזרה:

איור 1: מסלול הפתרון בעזרת לפלאס. הדרך הישירה בתחום הזמן (קו מקווקו, מימין) דורשת פתרון מד״ר. המעקף דרך מישור s מחליף אותה בשלושה צעדים קלים: המרה, אלגברה, והמרה הפוכה.

פרק 2

ההגדרה ותחום ההתכנסות

התמרת לפלאס של פונקציה בזמן $$x(t)$$ מסומנת $$X(s)$$ (אות גדולה), ומוגדרת על ידי האינטגרל:

X(s)=\mathcal{L}\{x(t)\}=\int_{0^-}^{\infty}x(t)\,e^{-st}\,dt

כאן $s=\sigma+j\omega$ הוא משתנה מרוכב — זהו לב העניין. החלק הממשי $\sigma$ אחראי על דעיכה או גדילה, והחלק הדמיוני $\omega$ אחראי על תנודה. כך, מספר מרוכב יחיד $$s$$ "אורז" בתוכו את שני ההיבטים של תגובת מעגל שכבר פגשנו — דעיכה ותנודה — ובדיוק לכן הוא הכלי הטבעי לניתוח מעגלים.

מדוע הגבול התחתון הוא $$0^-$$ ?

הבחירה ב־ $$0^-$$ (ולא $$0$$ או $$0^+$$ ) היא מכוונת וחשובה. היא מבטיחה שאם העירור מכיל הלם $\delta(t)$ בדיוק ברגע $$t=0$$ , ההלם ייכלל במלואו באינטגרל. יתרון נוסף ומכריע: תנאי ההתחלה שנכנסים לנוסחאות הגזירה הם $$x(0^-)$$ — כלומר המצב הפיזיקלי לפני ההפעלה, אותו אנו תמיד יודעים מהרציפות. זו בדיוק הסיבה שטבלת התכונות שנשתמש בה כתובה כולה עם $$0^-$$ .

תחום ההתכנסות (ROC)

האינטגרל המגדיר אינו מתכנס עבור כל ערך של $$s$$ . קבוצת הערכים של $$s$$ שעבורם האינטגרל מתכנס נקראת תחום ההתכנסות — באנגלית ROC (Region of Convergence). מאחר ש־ $$s$$ מרוכב, ה־ROC הוא תמיד אזור במישור המרוכב, והוא תמיד מוגדר על ידי תנאי על החלק הממשי $\operatorname{Re}\{s\}$ .

לדוגמה, עבור $x(t)=e^{-\alpha t}u(t)$ האינטגרל מתכנס רק כאשר $\operatorname{Re}\{s\}>-\alpha$ — אחרת האקספוננט $e^{(\,\operatorname{Re}\{s\}+\alpha)t}$ מתפוצץ והאינטגרל מתבדר. ה־ROC הוא אפוא חצי המישור מימין לקו $\operatorname{Re}\{s\}=-\alpha$ .

הערה מעשית על ה־ROC

בקורסי מעגלים בסיסיים, רוב האותות שנפגוש הם סיבתיים (מתחילים ב־ $$t=0$$ , כלומר מוכפלים ב־ $$u(t)$$ ), ולכן ה־ROC הוא תמיד חצי מישור ימני, מימין לקוטב הימני ביותר. בפועל, לצורך פתרון מעגלים, נשתמש בטבלאות ונבצע שברים חלקיים מבלי לדאוג יתר על המידה ל־ROC. עם זאת, חשוב להבין שהוא קיים, ושהוא מבחין בין אותות שונים בעלי אותו ביטוי אלגברי (למשל אקספוננט סיבתי לעומת אנטי־סיבתי, שורות 6 ו־7 בטבלת ההתמרות בהמשך).

פרק 3

הרעיון המרכזי: גזירה הופכת לכפל ב־ $$s$$

אם יש תכונה אחת שמסבירה מדוע לפלאס פותרת מעגלים בקלות כזו, זוהי תכונת הגזירה. היא הופכת את הפעולה הקשה ביותר במד״ר — הגזירה — לפעולה האלגברית הפשוטה ביותר: כפל. נגזור את ההגדרה כדי לראות זאת.

גזירה ראשונה

נחשב את התמרת לפלאס של הנגזרת $\dot x(t)$ ישירות מההגדרה, באמצעות אינטגרציה בחלקים:

\mathcal{L}\{\dot x(t)\}=\int_{0^-}^{\infty}\dot x(t)\,e^{-st}\,dt =\underbrace{\bigl[x(t)e^{-st}\bigr]_{0^-}^{\infty}}_{=\,-x(0^-)} +\,s\int_{0^-}^{\infty}x(t)e^{-st}\,dt

האיבר הראשון מתאפס בגבול העליון (בתוך ה־ROC) ונותן $$-x(0^-)$$ בגבול התחתון, והאינטגרל הנותר הוא בדיוק $$X(s)$$ . מתקבלת התוצאה היסודית:

\mathcal{L}\{\dot x(t)\}=sX(s)-x(0^-)

זהו כל הסיפור: גזירה אחת ↔ כפל ב־ $$s$$ , ובמתנה — תנאי ההתחלה $$x(0^-)$$ נכנס מעצמו לתוך הביטוי. אין צורך לטפל בו בנפרד.

גזירה שנייה

ליישום על מעגל מסדר שני נצטרך את הנגזרת השנייה. נפעיל את אותו כלל פעמיים:

\mathcal{L}\{\ddot x(t)\}=s^2X(s)-s\,x(0^-)-\dot x(0^-)

שימו לב לתבנית היפה: הנגזרת השנייה מביאה $$s^2$$ , וגוררת איתה שני תנאי התחלה — בדיוק שני התנאים שמעגל מסדר שני דורש. הכל מתחבר. למעשה, מתקיים כלל כללי לנגזרת מסדר $$n$$ :

\mathcal{L}\Bigl\{\tfrac{d^n x}{dt^n}\Bigr\}=s^nX(s)-\sum_{k=1}^{n}s^{\,n-k}\,x^{(k-1)}(0^-)

והדואלי: אינטגרציה הופכת לחילוק

באותו אופן, אינטגרציה בזמן הופכת לחילוק ב־ $$s$$ : $\mathcal{L}\{\int_{0^-}^{t}x\,d\tau\}=\frac{1}{s}X(s)$ . לכן קבל (שמתחו הוא אינטגרל הזרם) וסליל (שמתחו הוא נגזרת הזרם) מקבלים במישור $$s$$ ביטויים אלגבריים פשוטים — וזה מוביל ישירות למושג העכבה בפרק 7.

פרק 4

טבלת תכונות ההתמרה

הטבלה הבאה היא ארגז הכלים המרכזי. כל שורה מתארת פעולה בתחום הזמן (טור ימני) ואת מקבילתה בתחום $$s$$ (טור שמאלי). השליטה בשורות אלה היא שמאפשרת להמיר כל מד״ר למשוואה אלגברית. שימו לב במיוחד לשורות הגזירה — הן שעושות את העבודה הכבדה — ולעובדה שכולן כתובות עם תנאי התחלה ב־ $$0^-$$ .

הפעולה	תחום הזמן $$x(t)$$	תחום לפלאס $$X(s)$$
חיבור (ליניאריות)	$$x_1(t)+x_2(t)$$	$$X_1(s)+X_2(s)$$
כפל בקבוע	$k\,x(t)$	$k\,X(s)$
גזירה ראשונה בזמן	$\dfrac{dx}{dt}$	$$sX(s)-x(0^-)$$
גזירה שנייה בזמן	$\dfrac{d^2x}{dt^2}$	$s^2X(s)-sx(0^-)-\dot x(0^-)$
גזירה שלישית בזמן	$\dfrac{d^3x}{dt^3}$	$s^3X(s)-s^2x(0^-)-s\dot x(0^-)-\ddot x(0^-)$
גזירה מסדר $$n$$	$\dfrac{d^nx}{dt^n}$	$s^nX(s)-\sum_{k=1}^{n}s^{\,n-k}x^{(k-1)}(0^-)$
אינטגרציה (מ־ $$0^-$$ )	$\displaystyle\int_{0^-}^{t}x(\tau)\,d\tau$	$\dfrac{1}{s}X(s)$
אינטגרציה (מ־ $-\infty$ )	$\displaystyle\int_{-\infty}^{t}x(\tau)\,d\tau$	$\dfrac{1}{s}X(s)+\dfrac{1}{s}\displaystyle\int_{-\infty}^{0^-}x(t)\,dt$
הזזה בזמן	$$x(t-t_0)u(t-t_0)$$	$X(s)\,e^{-st_0},\ \ t_0\ge0$
הזזה בתדר	$x(t)\,e^{s_0 t}$	$$X(s-s_0)$$
גזירה בתדר	$-t\,x(t)$	$\dfrac{dX(s)}{ds}$
אינטגרציה בתדר	$\dfrac{x(t)}{t}$	$\displaystyle\int_{s}^{\infty}X(z)\,dz$
שינוי קנה מידה	$x(at),\ a\ge0$	$\dfrac{1}{a}X\!\left(\dfrac{s}{a}\right)$
קונבולוציה בזמן	$$x_1(t)*x_2(t)$$	$X_1(s)\,X_2(s)$
קונבולוציה בתדר	$x_1(t)\,x_2(t)$	$\dfrac{1}{2\pi j}X_1(s)*X_2(s)$
משפט הערך ההתחלתי	$$x(0^+)$$	$\displaystyle\lim_{s\to\infty}sX(s)$
משפט הערך הסופי	$x(\infty)$	$\displaystyle\lim_{s\to0}sX(s)$

התכונה ששווה זהב — קונבולוציה

שימו לב לשורת הקונבולוציה: פעולת הקונבולוציה המסובכת בתחום הזמן הופכת לכפל פשוט בתחום $$s$$ . זוהי הסיבה העמוקה לכך שמושג פונקציית התמסורת $$H(s)$$ (פרק 7) כה עוצמתי: המוצא הוא פשוט $$Y(s)=H(s)X(s)$$ , מכפלה — במקום אינטגרל קונבולוציה $$y(t)=h(t)*x(t)$$ .

פרק 5

טבלת התמרות של פונקציות יסוד

בעוד טבלת התכונות אומרת לנו כיצד פעולות מומרות, הטבלה הבאה נותנת את ההתמרות של הפונקציות עצמן — לבני הבניין הנפוצים. זוהי הטבלה שבה משתמשים בשלב ההתמרה ההפוכה: לאחר שפירקנו את $$Y(s)$$ לשברים חלקיים, מזהים כל שבר בטבלה וקוראים את הפונקציה בזמן. שתי השורות האחרונות (סינוס ואקספוננט מוכפל) הן הנפוצות ביותר במעגלים מסדר שני.

#	האות $$x(t)$$	ההתמרה $$X(s)$$	ROC
1	$\delta(t)$	$$1$$	כל $$s$$
2	$$u(t)$$	$\dfrac{1}{s}$	$\operatorname{Re}\{s\}>0$
3	$$-u(-t)$$	$\dfrac{1}{s}$	$\operatorname{Re}\{s\}<0$
4	$\dfrac{t^{\,n-1}}{(n-1)!}u(t)$	$\dfrac{1}{s^n}$	$\operatorname{Re}\{s\}>0$
5	$-\dfrac{t^{\,n-1}}{(n-1)!}u(-t)$	$\dfrac{1}{s^n}$	$\operatorname{Re}\{s\}<0$
6	$e^{-\alpha t}u(t)$	$\dfrac{1}{s+\alpha}$	$\operatorname{Re}\{s\}>-\alpha$
7	$-e^{-\alpha t}u(-t)$	$\dfrac{1}{s+\alpha}$	$\operatorname{Re}\{s\}<-\alpha$
8	$\dfrac{t^{\,n-1}}{(n-1)!}e^{-\alpha t}u(t)$	$\dfrac{1}{(s+\alpha)^n}$	$\operatorname{Re}\{s\}>-\alpha$
9	$-\dfrac{t^{\,n-1}}{(n-1)!}e^{-\alpha t}u(-t)$	$\dfrac{1}{(s+\alpha)^n}$	$\operatorname{Re}\{s\}<-\alpha$
10	$\delta(t-T)$	$e^{-sT}$	כל $$s$$
11	$\cos(\omega_0 t)\,u(t)$	$\dfrac{s}{s^2+\omega_0^2}$	$\operatorname{Re}\{s\}>0$
12	$\sin(\omega_0 t)\,u(t)$	$\dfrac{\omega_0}{s^2+\omega_0^2}$	$\operatorname{Re}\{s\}>0$
13	$e^{-\alpha t}\cos(\omega_0 t)\,u(t)$	$\dfrac{s+\alpha}{(s+\alpha)^2+\omega_0^2}$	$\operatorname{Re}\{s\}>-\alpha$
14	$e^{-\alpha t}\sin(\omega_0 t)\,u(t)$	$\dfrac{\omega_0}{(s+\alpha)^2+\omega_0^2}$	$\operatorname{Re}\{s\}>-\alpha$
15	$u_n(t)=\dfrac{d^n\delta(t)}{dt^n}$	$$s^n$$	כל $$s$$
16	$u_{-n}(t)=\underbrace{u(t)\cdotsu(t)}_{n}$	$\dfrac{1}{s^n}$	$\operatorname{Re}\{s\}>0$

זוגות נוספים שכדאי להכיר

השורות הבאות אינן בטבלה הבסיסית, אך הן צצות לעיתים קרובות בפתרון מעגלים ובבעיות בקרה, וקל לגזור אותן מהזוגות שלמעלה בעזרת תכונות הגזירה וההזזה:

האות $$x(t)$$	ההתמרה $$X(s)$$	הערה
$t\,u(t)$ (רמפה)	$\dfrac{1}{s^2}$	מקרה פרטי של שורה 4, $$n=2$$
$t\,e^{-\alpha t}u(t)$	$\dfrac{1}{(s+\alpha)^2}$	קוטב כפול — מופיע בריסון קריטי
$t\cos(\omega_0 t)\,u(t)$	$\dfrac{s^2-\omega_0^2}{(s^2+\omega_0^2)^2}$	גזירה בתדר של שורה 11
$t\sin(\omega_0 t)\,u(t)$	$\dfrac{2\omega_0 s}{(s^2+\omega_0^2)^2}$	גזירה בתדר של שורה 12
$\sinh(\beta t)\,u(t)$	$\dfrac{\beta}{s^2-\beta^2}$	שתי אקספוננטות ממשיות
$\cosh(\beta t)\,u(t)$	$\dfrac{s}{s^2-\beta^2}$	שתי אקספוננטות ממשיות

פרק 6

תנאי התחלה נכנסים אוטומטית

זהו אולי היתרון המעשי הגדול ביותר של לפלאס על פני השיטה הקלאסית. בשיטה הקלאסית נאלצנו לפתור את ההומוגנית, להתאים קבועים, ולחלץ נגזרת ב־ $$0^+$$ דרך KVL/KCL — תהליך עדין ומועד לשגיאות. בלפלאס, תנאי ההתחלה כבר נמצאים בתוך נוסחאות הגזירה, ולכן הם נכנסים למשוואה האלגברית מעצמם.

נדגים על מד״ר כללית מסדר שני. נתחיל מהמשוואה בתחום הזמן ונמיר כל איבר לפי הטבלה:

\ddot y+2\alpha\dot y+\omega_0^2 y=f(t)

נמיר אגף־אגף, תוך הצבת נוסחאות הגזירה מפרק 4:

\underbrace{\bigl[s^2Y(s)-sy(0^-)-\dot y(0^-)\bigr]}_{\mathcal{L}\{\ddot y\}} +2\alpha\underbrace{\bigl[sY(s)-y(0^-)\bigr]}_{\mathcal{L}\{\dot y\}} +\omega_0^2 Y(s)=F(s)

נאסוף את כל האיברים שמכילים $$Y(s)$$ לצד אחד, ואת תנאי ההתחלה (שהם פשוט מספרים) לצד השני:

\underbrace{(s^2+2\alpha s+\omega_0^2)}_{\text{Characteristic polynomial}}\,Y(s) = F(s) + \underbrace{\bigl[sy(0^-)+\dot y(0^-)+2\alpha\,y(0^-)\bigr]}_{\text{Initial-condition contribution}}

שימו לב לשני דברים מרהיבים. ראשית, המקדם של $$Y(s)$$ הוא בדיוק הפולינום האופייני $s^2+2\alpha s+\omega_0^2$ שפגשנו בפרק על מעגלים מסדר שני — אותו פולינום בדיוק, שמופיע כעת מאליו. שנית, תנאי ההתחלה התווספו לאגף ימין כמקור "וירטואלי". כל מה שנותר הוא לבודד את $$Y(s)$$ — חלוקה אלגברית פשוטה:

Y(s)=\underbrace{\frac{F(s)}{s^2+2\alpha s+\omega_0^2}}_{\text{ZSR -- from the excitation}} +\underbrace{\frac{sy(0^-)+\dot y(0^-)+2\alpha y(0^-)}{s^2+2\alpha s+\omega_0^2}}_{\text{ZIR -- from the initial conditions}}

ZIR ו־ZSR — שוב, אבל בחינם

הפיצול ל־ZIR ול־ZSR שעבדנו עליו קשה בתחום הזמן מופיע כאן מאליו: האיבר עם $$F(s)$$ הוא ה־ZSR (תלוי רק בעירור), והאיבר עם תנאי ההתחלה הוא ה־ZIR (תלוי רק במצב ההתחלתי). שניהם חולקים את אותו מכנה — הפולינום האופייני — ולכן את אותם קטבים, ולכן את אותו אופי תגובה. זה מסביר מדוע ה־ZIR וה־ZSR תמיד דועכים (או מתנדנדים) באותו קצב.

פרק 7

פונקציית התמסורת $$H(s)$$

כאשר מאפסים את תנאי ההתחלה (מצב אפס, כלומר עוסקים ב־ZSR בלבד), היחס בין המוצא לכניסה בתחום $$s$$ הופך לגודל יסודי שמאפיין את המעגל כולו — פונקציית התמסורת:

H(s)=\frac{Y(s)}{X(s)}\Bigg|_{\text{zero initial conditions}}

המשמעות עמוקה: $$H(s)$$ אינה תלויה בעירור $$X(s)$$ — היא תכונה פנימית של המעגל, שנקבעת אך ורק מערכי הרכיבים ומבנה החיבור. בהינתן $$H(s)$$ , התגובה לכל עירור היא פשוט מכפלה: $$Y(s)=H(s)X(s)$$ .

עכבות במישור $$s$$ — איך בונים את $$H(s)$$

הדרך הנוחה ביותר לבנות את $$H(s)$$ היא להמיר את המעגל כולו למישור $$s$$ ולטפל בו כמו מעגל התנגדויות פשוט — בעזרת מושג העכבה $$Z(s)$$ . כל רכיב מקבל עכבה אלגברית:

רכיב	קשר מתח־זרם בזמן	עכבה $$Z(s)$$
נגד	$$v=Ri$$	$$R$$
סליל	$v=L\dfrac{di}{dt}$	$$sL$$
קבל	$i=C\dfrac{dv}{dt}$	$\dfrac{1}{sC}$

מרגע זה, כל הכלים ממעגלי ההתנגדות עובדים כמות שהם: עכבות בטור מתחברות בחיבור, עכבות במקביל מתחברות בנוסחת המקבילים, ומחלק מתח ומחלק זרם פועלים כרגיל. כך מקבלים את $$H(s)$$ ישירות, מבלי לכתוב מד״ר כלל. בדיוק בשיטה זו נפתור את דוגמה 1 בהמשך.

הקוטב, האפס, ותגובת ההלם

$$H(s)$$ היא תמיד מנה של שני פולינומים, $H(s)=\dfrac{N(s)}{D(s)}$ . שורשי המונה $$N(s)$$ נקראים אפסים, ושורשי המכנה $$D(s)$$ נקראים קטבים. המכנה $$D(s)$$ אינו אלא הפולינום האופייני, ולכן הקטבים הם בדיוק התדרים הטבעיים של המעגל! זהו הגשר בין לפלאס לכל מה שלמדנו. בנוסף, ההתמרה ההפוכה של $$H(s)$$ עצמה היא תגובת ההלם $$h(t)$$ של המעגל.

פרק 8

מישור $$s$$ — קטבים ואפסים

כל מה שראינו עד כה מתלכד לתמונה גאומטרית אחת יפהפייה. מאחר ש־ $s=\sigma+j\omega$ הוא מספר מרוכב, נוכל לצייר אותו כנקודה במישור מרוכב — מישור $$s$$ . הציר האופקי הוא $\sigma=\operatorname{Re}\{s\}$ (קצב דעיכה/גדילה), והציר האנכי הוא $\omega=\operatorname{Im}\{s\}$ (תדר תנודה).

על מישור זה נסמן את הקטבים (שורשי המכנה) בסימן $\times$ , ואת האפסים (שורשי המונה) בסימן $\circ$ . מיקום הקטבים לבדו — איפה הם יושבים במישור — חושף את כל אופי התגובה: האם היא דועכת, מתנדנת, יציבה או מתבדרת. למדו לקרוא את המפה הזו, וכל מעגל נפתח בפניכם במבט אחד.

מישור s: ככל שהקוטב שמאלי יותר (σ שלילי יותר) הדעיכה מהירה יותר; ככל שהוא גבוה יותר (ω גדול יותר) התנודה מהירה יותר. הציר המדומה הוא גבול היציבות.

כיצד קוראים את מיקום הקוטב

כל קוטב $s=\sigma+j\omega$ תורם לתגובה איבר מהצורה $e^{st}=e^{\sigma t}e^{j\omega t}$ . מכאן נובעות שתי קריאות פשוטות:

החלק הממשי $\sigma$

קובע דעיכה או גדילה. $\sigma<0$ (קוטב משמאל) ← $e^{\sigma t}$ דועך ← יציב. $\sigma>0$ (קוטב מימין) ← $e^{\sigma t}$ גדל ← לא יציב.

החלק המדומה $\omega$

קובע תנודה. $\omega\neq0$ ← קיימים רכיבי $\cos$ ו־ $\sin$ ← תגובה מתנדנדת. ככל ש־ $\omega$ גדול יותר, התנודה מהירה יותר.

הציר המדומה

קוטב על הציר המדומה ( $\sigma=0$ ) ← תנודה שאינה דועכת ואינה גדלה. זהו גבול היציבות המדויק — חוסר ריסון.

הציר הממשי

קוטב על הציר הממשי ( $\omega=0$ ) ← דעיכה טהורה ללא תנודה. זהו המצב של ריסון יתר או ריסון קריטי.

פרק 9

קטבים ומצבי הריסון — אותו סיפור, שפה חדשה

זהו רגע האיחוד. ארבעת מצבי הריסון שלמדנו במעגלים מסדר שני אינם אלא ארבע מנחים אפשריים של הקטבים במישור $$s$$ . הקטבים הם שורשי הפולינום האופייני $s^2+2\alpha s+\omega_0^2=0$ — בדיוק התדרים הטבעיים $s_{1,2}=-\alpha\pm\sqrt{\alpha^2-\omega_0^2}$ . ההבדל היחיד הוא שכעת אנו רואים אותם על המפה.

מצב הריסון	תנאי	מיקום הקטבים במישור $$s$$	אופי התגובה
ריסון יתר	$\alpha>\omega_0$	שני קטבים ממשיים שליליים שונים (על הציר הממשי)	שתי דעיכות, ללא תנודה
ריסון קריטי	$\alpha=\omega_0$	קוטב ממשי שלילי כפול (נקודה אחת על הציר הממשי)	דעיכה מהירה ביותר, ללא תנודה
תת־ריסון	$\alpha<\omega_0$	זוג קטבים מרוכבים צמודים בחצי המישור השמאלי	תנודה דועכת
חוסר ריסון	$\alpha=0$	זוג קטבים מדומים טהורים (על הציר המדומה)	תנודה קבועה, ללא דעיכה

הגאומטריה של הקטבים המרוכבים

בתת־ריסון הקטבים הם $s_{1,2}=-\alpha\pm j\omega_d$ , כאשר $\omega_d=\sqrt{\omega_0^2-\alpha^2}$ . המרחק של הקוטב מהראשית הוא בדיוק $\omega_0$ (כי $\alpha^2+\omega_d^2=\omega_0^2$ ), ההיטל האופקי הוא $-\alpha$ (קצב הדעיכה), וההיטל האנכי הוא $\omega_d$ (תדר התנודה). הזווית מהציר השלילי קשורה ישירות לגורם האיכות $$Q$$ : ככל שהקטבים קרובים יותר לציר המדומה, $$Q$$ גבוה יותר והמעגל "מתנדן" יותר.

התובנה המעשית: ברגע שכתבתם את $$H(s)$$ ומצאתם את המכנה, אינכם צריכים לפתור שום מד״ר כדי לדעת איך המעגל יתנהג. מספיק לפרק את המכנה לגורמים, לאתר את הקטבים, ולקרוא את המפה. הצורה של הפתרון בזמן נקבעת מיד.

פרק 10

שברים חלקיים — הדרך חזרה לתחום הזמן

לאחר שפתרנו אלגברית וקיבלנו את $$Y(s)$$ כמנת פולינומים, נותר הצעד האחרון: ההתמרה ההפוכה, חזרה אל $$y(t)$$ . הטבלה (פרק 5) נותנת התמרות הפוכות רק לשברים פשוטים. לכן הטכניקה המרכזית היא לפרק את $$Y(s)$$ לסכום של שברים חלקיים, שכל אחד מהם מופיע בטבלה.

העיקרון

מפרקים את המכנה לגורמים (הקטבים), וכותבים את $$Y(s)$$ כסכום שברים — אחד לכל קוטב. צורת הפירוק תלויה בסוג הקטבים:

מקרה א — קטבים ממשיים ושונים

לכל קוטב פשוט $$s=p_i$$ מתאים שבר $\frac{k_i}{s-p_i}$ :

Y(s)=\frac{k_1}{s-p_1}+\frac{k_2}{s-p_2}+\cdots \qquad\xrightarrow{\;\mathcal{L}^{-1}\;}\qquad y(t)=\bigl(k_1e^{p_1 t}+k_2e^{p_2 t}+\cdots\bigr)u(t)

את המקדם $$k_i$$ מוצאים בשיטת הכיסוי: מכפילים את $$Y(s)$$ ב־ $$(s-p_i)$$ ומציבים $$s=p_i$$ .

מקרה ב — קוטב ממשי כפול

קוטב מסדר 2 ב־ $$s=p$$ דורש שני שברים — אחד לכל חזקה. זהו המקרה של ריסון קריטי:

Y(s)=\frac{k_1}{s-p}+\frac{k_2}{(s-p)^2} \qquad\xrightarrow{\;\mathcal{L}^{-1}\;}\qquad y(t)=\bigl(k_1e^{pt}+k_2\,t\,e^{pt}\bigr)u(t)

שימו לב כיצד הקוטב הכפול מוליד את האיבר $t\,e^{pt}$ — בדיוק האיבר עם $$t$$ שראינו בריסון קריטי, וכעת ברור מאין הוא בא.

מקרה ג — קטבים מרוכבים צמודים

זהו המקרה של תת־ריסון. אפשר לטפל בו בשתי דרכים: לפרק לשני שברים מרוכבים, או — נוח הרבה יותר — להשלים לריבוע במכנה ולהשתמש ישירות בשורות 13–14 של הטבלה:

\frac{s+\alpha}{(s+\alpha)^2+\omega_d^2}\xrightarrow{\;\mathcal{L}^{-1}\;}e^{-\alpha t}\cos(\omega_d t), \qquad \frac{\omega_d}{(s+\alpha)^2+\omega_d^2}\xrightarrow{\;\mathcal{L}^{-1}\;}e^{-\alpha t}\sin(\omega_d t)

טיפ: אל תפרקו קטבים מרוכבים לגורמים מרוכבים אם אפשר להימנע

כשהמכנה הוא ריבועי עם שורשים מרוכבים (למשל $$s^2+16s+100$$ ), עדיף לרוב להשלים לריבוע: $$s^2+16s+100=(s+8)^2+36=(s+8)^2+6^2$$ . כך מזהים מיד $\alpha=8$ ו־ $\omega_d=6$ , ומתאימים לשורות 13–14 ללא חשבון מרוכב. זה מהיר יותר ופחות מועד לטעויות מאשר פירוק לשני שברים עם מקדמים מרוכבים.

וכשהמונה מאותה דרגה כמו המכנה?

אם דרגת המונה ≥ דרגת המכנה (פונקציה לא־פרופר), מבצעים תחילה חילוק פולינומים ארוך כדי להוציא חלק פולינומיאלי (שמתמיר להלם ולנגזרותיו, שורות 1 ו־15 בטבלה), ורק את השארית הפרופר מפרקים לשברים חלקיים.

פרק 11

מתכון פתרון שלב־אחר־שלב

נסכם את השיטה כולה לתהליך עבודה אחיד. זהו אותו מתכון לכל מעגל ולכל עירור:

המרה למישור $$s$$

המירו את המד״ר אגף־אגף לפי טבלת התכונות, או — מהר יותר — המירו את המעגל עצמו לעכבות ( $R,\,sL,\,\tfrac{1}{sC}$ ) וכתבו KVL/KCL. הכניסו את תנאי ההתחלה דרך נוסחאות הגזירה.

בידוד אלגברי של $$Y(s)$$

אספו את כל האיברים עם $$Y(s)$$ לצד אחד ואת תנאי ההתחלה והעירור לצד השני. בודדו בחילוק פשוט. קיבלתם מנת פולינומים.

זיהוי הקטבים

פרקו את המכנה לגורמים ומצאו את הקטבים. קראו את אופי התגובה מהמפה (פרק 9) עוד לפני ההתמרה ההפוכה — בדיקת שפיות מצוינת.

פירוק לשברים חלקיים

פרקו את $$Y(s)$$ לסכום שברים פשוטים לפי סוג הקטבים. השלימו לריבוע עבור קטבים מרוכבים. מצאו מקדמים בשיטת הכיסוי.

התמרה הפוכה

החליפו כל שבר בפונקציה בזמן המתאימה מטבלת ההתמרות (פרק 5). הסכום הוא $$y(t)$$ . הכפילו ב־ $$u(t)$$ אם העירור סיבתי.

בדיקה

אמתו עם משפטי הערך ההתחלתי והסופי (פרק 14), בדקו יחידות, ובדקו שהתנהגות הגבול ( $t\to0,\infty$ ) הגיונית פיזיקלית.

פרק 12

דוגמה מלאה — RLC עם מקור מתח

נדגים את כל השיטה על מעגל קונקרטי. נתון מעגל ובו שני נגדים $R=0.5\,\Omega$ כל אחד, סליל $L=2\,\mathrm{H}$ וקבל $C=0.5\,\mathrm{F}$ , כאשר הסליל והקבל במקביל. מקור המתח הוא מדרגה $v_s(t)=6\,u(t)$ , ותנאי ההתחלה הם $v_C(0^-)=-4\,\mathrm{V}$ ו־ $i_L(0^-)=-1\,\mathrm{A}$ . נמצא את מתח הקבל $$v_C(t)$$ .

שלב 1 — המרת המעגל לעכבות ומציאת היחס

נמיר את הסליל והקבל לעכבות ונמצא את העכבה השקולה שלהם במקביל:

Z_C(s)=\frac{1}{sC},\quad Z_L(s)=sL \;\Longrightarrow\; Z_{eq}(s)=\frac{1}{\frac{1}{sL}+sC}=\frac{sL}{1+s^2CL}

מתח הקבל הוא המתח על העכבה השקולה. נשתמש במחלק מתח (שני הנגדים $$2R$$ בטור עם $Z_{eq}$ ):

V_C(s)=V_s(s)\,\frac{Z_{eq}(s)}{Z_{eq}(s)+2R} =V_s(s)\,\frac{sL}{sL+2R+2Rs^2CL}

שלב 2 — קבלת המד״ר (אופציונלי, לשם ההבנה)

נכפול במכנה ונציב ערכים. עם $L=2,\ C=0.5,\ R=0.5$ המכנה הופך ל־ $$s^2+2s+1$$ והמונה ל־ $$2s$$ :

V_C(s)\,(s^2+2s+1)=2s\,V_s(s) \;\Longleftrightarrow\; \ddot v_C+2\dot v_C+v_C=2\dot v_s

זוהי המד״ר המלאה של המעגל. נשים לב שהפולינום האופייני הוא $$s^2+2s+1=(s+1)^2$$ — קוטב כפול ב־ $$s=-1$$ . זהו ריסון קריטי, ואנו כבר יודעים שהפתרון יכיל איבר $t\,e^{-t}$ .

שלב 3 — מציאת תנאי ההתחלה לנגזרת

נתון $$v_C(0^-)=-4$$ . נחלץ את $\dot v_C(0^-)$ מ־KCL ברגע ההתחלה. הזרם דרך הקבל הוא $i_C=C\dot v_C$ , וזרם זה נקבע מהפרש הזרמים בצומת. לאחר הצבת תנאי ההתחלה $$v_C(0^-)=-4$$ ו־ $$i_L(0^-)=-1$$ ושימוש בחוק אוהם על הנגדים, מתקבל:

\dot v_C(0^-)=\frac{\frac{v_R(0^-)}{R}-i_L(0^-)}{C}=\frac{4-(-1)}{0.5}=10\,\mathrm{V/s}

שלב 4 — המרת המד״ר עם תנאי ההתחלה

נמיר את המד״ר $\ddot v_C+2\dot v_C+v_C=2\dot v_s$ , תוך הכנסת תנאי ההתחלה. אגף ימין: $\mathcal{L}\{2\dot v_s\}=2[sV_s(s)-v_s(0^-)]=2s\cdot\frac{6}{s}=12$ :

\bigl[s^2V_C-s v_C(0^-)-\dot v_C(0^-)\bigr]+2\bigl[sV_C-v_C(0^-)\bigr]+V_C=12

נציב $$v_C(0^-)=-4$$ ו־ $\dot v_C(0^-)=10$ :

s^2V_C+4s-10+2sV_C+8+V_C=12 \;\Longrightarrow\; (s^2+2s+1)V_C=14-4s

שלב 5 — בידוד ופירוק לשברים חלקיים

נבודד את $$V_C(s)$$ . המכנה הוא קוטב כפול $$(s+1)^2$$ , ולכן נפרק לפי מקרה ב' (קוטב כפול):

V_C(s)=\frac{14-4s}{(s+1)^2}=\frac{-4}{s+1}+\frac{18}{(s+1)^2}

שלב 6 — התמרה הפוכה

נזהה כל שבר בטבלה: $\frac{1}{s+1}\to e^{-t}$ (שורה 6) ו־ $\frac{1}{(s+1)^2}\to t\,e^{-t}$ (קוטב כפול). מתקבל מתח הקבל:

v_C(t)=\bigl(-4\,e^{-t}+18\,t\,e^{-t}\bigr)u(t)

בדיקת שפיות — שני המשפטים

ערך התחלתי: $v_C(0^+)=\lim_{s\to\infty}sV_C(s)=\lim_{s\to\infty}\frac{14s-4s^2}{(s+1)^2}=-4$ — תואם את $$v_C(0^-)=-4$$ (רציפות הקבל, כצפוי ללא הלם). ערך סופי: $v_C(\infty)=\lim_{s\to0}sV_C(s)=0$ — הגיוני, הקבל נפרק לאפס במצב המתמיד (אין מתח DC על מקור שמחובר דרך המעגל הזה). שני המשפטים מאשרים את התשובה.

הרחבה — פונקציית התמסורת והשאלה ההפוכה

נניח כעת שמאפסים את תנאי ההתחלה ושואלים על פונקציית התמסורת. מהיחס בשלב 1, עם תנאי התחלה אפס:

H(s)=\frac{V_C(s)}{V_s(s)}=\frac{sL}{2R(1+s^2LC)+sL}

שאלה: כיצד נשנה את הנגדים כדי לקבל $$H(s)=1$$ (תמסורת זהות)? מהביטוי רואים שאם $$R=0$$ (מקצרים את שני הנגדים), המכנה הופך ל־ $$sL$$ והשבר מצטמצם ל־ $$1$$ .

הסבר אינטואיטיבי

אם הנגדים מקוצרים, אין כלל מפל מתח עליהם, ולכן מתח המקור מופיע במלואו על העומס (הקבל). המוצא שווה לכניסה — וזו בדיוק תמסורת זהות, $$H(s)=1$$ .

פרק 13

דוגמה מלאה — מעגל תהודה $$LC$$

הדוגמה השנייה מדגימה את מקרה הקצה היפה ביותר: מעגל ללא נגד כלל — רק סליל וקבל במקביל (מעגל תהודה, resonant circuit). זהו המקרה של חוסר ריסון, שבו הקטבים יושבים בדיוק על הציר המדומה. תנאי ההתחלה הם $$i_L(0^-)$$ ו־ $\dot i_L(0^-)$ .

שלב 1 — המד״ר

מ־KVL, $$v_C(t)+v_L(t)=0$$ . נשתמש ב־ $v_C=\frac{1}{C}\int i_L$ וב־ $v_L=L\dot i_L$ , נגזור פעם אחת לסילוק האינטגרל, ונקבל:

\ddot i_L(t)+\frac{1}{LC}\,i_L(t)=0

שלב 2 — זיהוי המצב

נשווה לצורה הסטנדרטית $\ddot y+2\alpha\dot y+\omega_0^2 y=0$ : אין כלל איבר נגזרת ראשונה, ולכן $\alpha=0$ , ו־ $\omega_0=\frac{1}{\sqrt{LC}}$ . מאחר ש־ $\alpha=0<\omega_0$ ללא תלות בערכי $$L,C$$ , המעגל תמיד בחוסר ריסון. הפתרון יהיה תנודה טהורה בתדר $\omega_0$ .

שלב 3 — פתרון בלפלאס

נמיר את המד״ר עם שני תנאי ההתחלה:

s^2I_L(s)-s\,i_L(0^-)-\dot i_L(0^-)+\frac{1}{LC}I_L(s)=0

נבודד את $$I_L(s)$$ :

I_L(s)=\frac{s\,i_L(0^-)+\dot i_L(0^-)}{s^2+\frac{1}{LC}}

הקטבים הם $s_{1,2}=\pm j\frac{1}{\sqrt{LC}}=\pm j\omega_0$ — מדומים טהורים, על הציר המדומה. זהו האישור הגאומטרי לחוסר ריסון.

שלב 4 — התמרה הפוכה

נפצל את $$I_L(s)$$ לשני איברים המתאימים לשורות 11 ו־12 בטבלה ( $\cos$ ו־ $\sin$ ):

i_L(t)=i_L(0^-)\cos(\omega_0 t)+\frac{\dot i_L(0^-)}{\omega_0}\sin(\omega_0 t), \qquad \omega_0=\frac{1}{\sqrt{LC}}

מתח הסליל מתקבל בגזירה, $v_L=L\dot i_L$ :

v_L(t)=-v_C(t)=L\Bigl[\dot i_L(0^-)\cos(\omega_0 t)-\omega_0\,i_L(0^-)\sin(\omega_0 t)\Bigr]

שלב 5 — שימור האנרגיה

ללא נגד, אסור שתאבד אנרגיה. נראה זאת. האנרגיה הכוללת היא $E(t)=\frac{1}{2}Li_L^2+\frac{1}{2}Cv_C^2$ . נגזור לפי הזמן ונשתמש ב־ $$i_L=i_C$$ וב־ $$v_L=-v_C$$ :

\frac{dE}{dt}=Li_L\dot i_L+Cv_C\dot v_C=i_L v_L+v_C i_C=i_L v_L-v_L i_L=0

הנגזרת מתאפסת, ולכן $E(t)=\text{const}$ — האנרגיה נשמרת. היא רק מתחלפת הלוך ושוב בין הקבל לסליל, בדיוק כפי שתיארנו במחזור החלפת האנרגיה של מעגל $$LC$$ אידיאלי.

הסבר פיזיקלי

המעגל הוא "מטוטלת חשמלית" מושלמת. בהיעדר נגד אין חיכוך, ולכן התנודה נמשכת לנצח בתדר $\omega_0$ . האנרגיה עוברת מהשדה החשמלי של הקבל לשדה המגנטי של הסליל ובחזרה, ללא אובדן. בתמונת הקטבים: הקטבים יושבים בדיוק על הציר המדומה — לא שמאלה (אין דעיכה) ולא ימינה (אין גדילה) — וזה הביטוי הגאומטרי המדויק של תנודה נצחית יציבה.

פרק 14

משפטי הערך ההתחלתי והסופי

שני משפטים קצרים ושימושיים מאפשרים לקרוא את ההתנהגות ב־ $t\to0^+$ וב־ $t\to\infty$ ישירות מ־ $$Y(s)$$ , בלי לבצע התמרה הפוכה. הם כלי בדיקה מצוין לכל פתרון.

משפט הערך ההתחלתי

y(0^+)=\lim_{s\to\infty}sY(s)

מתאים כאשר דרגת המכנה גדולה מדרגת המונה. שימושי לבדיקת רציפות: מאפשר לוודא ש־ $$y(0^+)$$ שווה לערך ההתחלתי הפיזיקלי הצפוי.

משפט הערך הסופי

y(\infty)=\lim_{s\to0}sY(s)

תנאי קריטי למשפט הערך הסופי

משפט הערך הסופי תקף רק אם כל קטבי $$sY(s)$$ נמצאים בחצי המישור השמאלי הפתוח (יציב). אם יש קטבים על הציר המדומה (תנודה שאינה דועכת, כמו במעגל התהודה) או מימין לו, הגבול $t\to\infty$ אינו קיים, והחלת המשפט תיתן תוצאה שגויה. לדוגמה, עבור סינוס טהור $\frac{\omega_0}{s^2+\omega_0^2}$ הנוסחה תיתן $$0$$ , אך הסינוס אינו שואף לאפס — הוא ממשיך להתנדנד. תמיד בדקו את מיקום הקטבים לפני שמחילים את המשפט.

למה זה עובד — בקצרה

שני המשפטים נובעים מתכונת הגזירה. ב־ $s\to\infty$ שולטות ההתנהגויות המהירות (זמנים קצרים), וב־ $s\to0$ שולטות ההתנהגויות האיטיות (זמנים ארוכים). זהו ביטוי לעיקרון כללי: $$s$$ גדול ↔ זמן קצר, $$s$$ קטן ↔ זמן ארוך.

פרק 15

סיכום

התמרת לפלאס היא המעקף החכם סביב הקושי שבפתרון משוואות דיפרנציאליות. היא ממירה בעיה בתחום הזמן — מד״ר עם תנאי התחלה — למשוואה אלגברית במישור $$s$$ , פותרים שם בכפל וחילוק, וחוזרים בעזרת שברים חלקיים והתמרה הפוכה. הרעיון המרכזי הוא שגזירה הופכת לכפל ב־ $$s$$ , ובדרך אגב תנאי ההתחלה נכנסים מעצמם.

היופי הגדול הוא האיחוד: הפולינום האופייני מופיע כמכנה של $$Y(s)$$ , שורשיו הם הקטבים, והקטבים הם בדיוק התדרים הטבעיים. מיקום הקטבים במישור $$s$$ חושף את כל אופי התגובה — דעיכה, תנודה, יציבות — והוא תרגום גאומטרי ישיר של ארבעת מצבי הריסון שכבר הכרנו.

שמונה כללי אצבע להתמרת לפלאס

1. גזירה ↔ כפל ב־

\(s\)

; אינטגרציה ↔ חילוק ב־

\(s\)

2. תנאי ההתחלה (ב־

\(0^-\)

) נכנסים אוטומטית דרך נוסחאות הגזירה.

3. עכבות:

R,\ sL,\ \tfrac{1}{sC}

— ואז כמו מעגל התנגדויות.

4. פונקציית התמסורת

\(H(s)=Y/X\)

בתנאי התחלה אפס; קטביה = תדרים טבעיים.

5. קטבים בחצי מישור שמאלי ← יציב; על הציר המדומה ← תנודה קבועה.

6. קוטב כפול ← איבר

t\,e^{pt}

; קטבים מרוכבים ← השלימו לריבוע.

7. התמרה הפוכה = שברים חלקיים + טבלה.

8. בדקו עם משפטי הערך ההתחלתי והסופי (זהירות בקטבים על הציר המדומה).

השלב הבא

עם לפלאס בידיכם, נפתחת הדרך אל ניתוח תגובת תדר ומישור $j\omega$ , אל דיאגרמות בודה, ואל תכן מסננים ומערכות בקרה — שם פונקציית התמסורת והקטבים הופכים לכלי התכן המרכזי. כל מה שבניתם כאן ממשיך לעבוד.

חזרה לדף הקורס

התמרת לפלאס