מעגלים מסדר שני

פרק 1

מהו מעגל מסדר שני?

במעגלים מסדר ראשון פגשנו רכיב ריאקטיבי יחיד — קבל אחד או סליל אחד — והמעגל קיבל "זיכרון" בצורת אנרגיה אגורה. הפתרון היה תמיד אקספוננציאלי פשוט, $e^{-t/\tau}$ : דעיכה חלקה אל המצב המתמיד, ללא תנודה.

כעת נוסיף למעגל רכיב ריאקטיבי שני בלתי־תלוי — בדרך כלל קבל וגם סליל. כאן קורה משהו חדש מהיסוד. כל אחד מהרכיבים אוגר אנרגיה בצורה שונה: הקבל בשדה חשמלי, הסליל בשדה מגנטי. כעת האנרגיה יכולה לזרום הלוך ושוב בין שני הרכיבים — מהקבל אל הסליל ובחזרה — בדיוק כמו אנרגיה שעוברת בין אנרגיה קינטית לפוטנציאלית במטוטלת או בקפיץ. תופעה זו היא תנודה, והיא אינה קיימת כלל במעגלים מסדר ראשון.

ההגדרה המדויקת

מעגל מסדר שני הוא מעגל המכיל שני רכיבים ריאקטיביים בלתי־תלויים (בדרך כלל קבל אחד וסליל אחד), בנוסף לנגדים ולמקורות. סדר המעגל שווה למספר הרכיבים הריאקטיביים הבלתי־תלויים — ולכן המודל המתמטי של מעגל כזה הוא משוואה דיפרנציאלית רגילה (מד״ר) מסדר שני. הזיכרון של המעגל כעת כפול: יש בו שני גדלים בלתי־תלויים שזוכרים את העבר — מתח הקבל וזרם הסליל — ולכן נדרשים שני תנאי התחלה לקביעת הפתרון.

האנלוגיה המכנית — המפתח לאינטואיציה

הדרך הטובה ביותר להרגיש מעגל מסדר שני היא להשוות אותו למערכת מסה־קפיץ עם חיכוך. הסליל מתנהג כמו מסה (התנגדות לשינוי בזרם, כמו אינרציה), הקבל מתנהג כמו קפיץ (אוגר "מתיחות" בצורת מתח), והנגד מתנהג כמו חיכוך (מבזבז אנרגיה כחום). בדיוק כמו מטוטלת עם חיכוך, התגובה תלויה ביחס בין כוח ההחזרה (הקפיץ/הקבל) לבין הבלימה (החיכוך/הנגד):

תפקיד	מערכת מכנית	מעגל חשמלי
אינרציה / התנגדות לשינוי	מסה $$m$$	סליל $$L$$
אגירת "מתיחות" / כוח החזרה	קבוע קפיץ $$k$$	קבל $$1/C$$
בלימה / פיזור אנרגיה	חיכוך $$b$$	נגד $$R$$
התנהגות	תנודה דועכת	תנודה חשמלית דועכת

מטרת העמוד

נצא מהפיזיקה של אגירת האנרגיה הכפולה, נגזור מהמעגל את המד״ר מסדר שני, ונפתור אותה בצורה שיטתית. נסביר בפירוט מהיכן מגיע הפולינום האופייני, מהם התדרים הטבעיים, ומדוע הם קובעים את כל אופי התגובה. נראה כיצד יחס יחיד — בין מקדם הריסון $\alpha$ לתדר הטבעי $\omega_0$ — מחלק את כל ההתנהגויות לארבעה מצבים: ריסון יתר, ריסון קריטי, תת־ריסון, וחוסר ריסון.

פרק 2

הפיזיקה: שתי אגירות אנרגיה והחלפה ביניהן

כדי להבין למה מעגל מסדר שני מתנדנד, עלינו לחזור לאנרגיה האגורה בכל רכיב. מהעמוד הקודם אנו זוכרים שני ביטויים יסודיים:

W_C=\tfrac{1}{2}C\,V_C^2,\qquad W_L=\tfrac{1}{2}L\,I_L^2

האנרגיה בקבל תלויה במתח (ריבועו), והאנרגיה בסליל תלויה בזרם (ריבועו). שני אלה הם בדיוק שני הגדלים הבלתי־תלויים של המעגל — ולכן הם הנושאים את הזיכרון הכפול.

למה דווקא תנודה?

נדמיין מעגל אידיאלי ללא נגד כלל (רק $$L$$ ו־ $$C$$ ). נניח שברגע ההתחלה הקבל טעון במלוא המתח והזרם בסליל אפס — כל האנרגיה אגורה בשדה החשמלי. כעת הקבל מתחיל לפרוק דרך הסליל. ככל שהזרם גדל, האנרגיה זורמת מהקבל אל השדה המגנטי של הסליל. ברגע שהקבל מתרוקן לחלוטין, כל האנרגיה נמצאת בסליל, והזרם בשיאו. אך הסליל מתנגד לשינוי בזרם, וכעת הוא דוחף את הזרם להמשיך — ובכך טוען את הקבל בכיוון ההפוך. כך נמשך מחזור:

מחזור החלפת האנרגיה (מעגל LC אידיאלי)

אנרגיה בקבל $\leftarrow$ זרם גדל בסליל $\leftarrow$ אנרגיה בסליל $\leftarrow$ הסליל טוען את הקבל בקוטביות הפוכה $\leftarrow$ אנרגיה בקבל בקוטביות הפוכה $\leftarrow$ וחוזר חלילה. ללא נגד, המחזור הזה נמשך לנצח — זו תנודה הרמונית טהורה בתדר הטבעי $\omega_0=1/\sqrt{LC}$ . בדיוק כמו מטוטלת ללא חיכוך.

ברגע שמוסיפים נגד, בכל מחזור חלק מהאנרגיה מתפזר כחום ואינו חוזר. לכן התנודה דועכת בהדרגה — בדיוק כמו מטוטלת עם חיכוך אוויר שמשרעתה קטֵנה עד שהיא נעצרת. אם הנגד גדול מספיק, החיכוך כה חזק שהמערכת אפילו לא מספיקה להתנדנד פעם אחת — היא פשוט "זוחלת" בחזרה למנוחה. כל ארבעת מצבי הריסון נובעים ישירות מהמאבק הזה בין אגירת האנרגיה (שמובילה לתנודה) לבין הפיזור (שבולם אותה).

פרק 3

מהיכן מגיע "הסדר השני"?

כפי שראינו במעגלים מסדר ראשון, סדר המעגל שווה לסדר המשוואה הדיפרנציאלית המתארת אותו, וזה בתורו שווה למספר הרכיבים הריאקטיביים הבלתי־תלויים. ההיגיון זהה, אך כעת יש שני רכיבים.

הסיבה מעוגנת במשוואות הרכיבים. כל קבל תורם נגזרת דרך $I_C=C\dot V_C$ , וכל סליל תורם נגזרת דרך $V_L=L\dot I_L$ . כאשר יש שני רכיבים בלתי־תלויים, התהליך של הצבה והצבה־חוזרת של משוואות הרכיבים זה בזה מוליד נגזרת שנייה — ולכן מד״ר מסדר שני. בכל פעם שאנו "מגלגלים" משוואת רכיב לתוך משוואת רכיב אחר, אנו מעלים את סדר הנגזרת.

שוב — מהי "בלתי־תלות"?

כדי שהמעגל יהיה באמת מסדר שני, שני הרכיבים חייבים להיות בלתי־תלויים — כלומר לא ניתן לאחד אותם לרכיב שקול. שני קבלים במקביל מתאחדים לקבל אחד, ולכן מעגל עם שני קבלים מקבילים וסליל הוא עדיין מסדר שני (קבל שקול + סליל), לא מסדר שלישי. תמיד בצעו את האיחודים האפשריים לפני שסופרים את הסדר. כמו כן, קבל וסליל הם תמיד בלתי־תלויים זה מזה — לא ניתן לאחד אותם — ולכן צירוף של קבל וסליל נותן מעגל מסדר שני.

פרק 4

המשוואה הדיפרנציאלית הכללית מסדר שני

לאחר שמפעילים את חוקי קירכהוף ומציבים את משוואות הרכיבים, כל מעגל מסדר שני מגיע לאותה צורה אחידה. זוהי הצורה הסטנדרטית שממנה נקרא את כל הפרמטרים החשובים:

\frac{d^2 y(t)}{dt^2}+2\alpha\,\frac{dy(t)}{dt}+\omega_0^2\,y(t)=f(t)

כאן $$y(t)$$ הוא המשתנה הנבחר — מוצא המערכת, שיכול להיות מתח או זרם על אחד הרכיבים, ו־ $$f(t)$$ הוא אגף ימין הנובע מהמקורות (העירור). שני הפרמטרים $\alpha$ ו־ $\omega_0$ נקבעים אך ורק על ידי רכיבי המעגל — לא על ידי העירור או תנאי ההתחלה.

כמו במעגל מסדר ראשון, יחד עם המד״ר אנו זקוקים גם לתנאי התחלה. אך הפעם, מאחר שהמשוואה מסדר שני, דרושים שני תנאי התחלה — ערך המוצא ונגזרתו ברגע ההתחלה:

\begin{cases} \ddot y+2\alpha\,\dot y+\omega_0^2\,y=f(t)\\ y(0^-)=y_0\\ \dot y(0^-)=\dot y_0 \end{cases}

מדוע שני תנאי התחלה?

כל אינטגרציה מוסיפה קבוע אינטגרציה אחד. פתרון מד״ר מסדר שני שקול לשתי אינטגרציות, ולכן מופיעים שני קבועים חופשיים בפתרון הכללי (נקרא להם $$A$$ ו־ $$B$$ ). כדי לקבוע את שניהם נחוצות שתי משוואות — שני תנאי התחלה. פיזיקלית, זה הגיוני: יש לנו שני גדלים בלתי־תלויים שזוכרים את העבר ( $$V_C$$ ו־ $$I_L$$ ), ולכן צריך לדעת את שניהם ברגע ההתחלה.

פרק 5

הפרמטרים $\alpha$ ו־ $\omega_0$ ומשמעותם הפיזיקלית

שני הפרמטרים בצורה הסטנדרטית אינם סתם מקדמים — לכל אחד מהם משמעות פיזיקלית עמוקה, וכל אחד נמדד ביחידות משלו.

מקדם הריסון $\alpha$

הפרמטר $\alpha$ נקרא קבוע הריסון (או מקדם הדעיכה). הוא מבטא את קצב פיזור האנרגיה במעגל — כלומר את ה"חיכוך" החשמלי. הוא נובע מהנגד שמבזבז הספק כחום, ונמדד ביחידות של קצב, כלומר $[1/\mathrm{sec}]$ :

[\alpha]=\frac{1}{\mathrm{sec}}

ככל ש־ $\alpha$ גדול יותר, האנרגיה מתפזרת מהר יותר והתנודות (אם קיימות) דועכות מהר יותר. במעגל פיזיקלי אמיתי תמיד $\alpha\geq 0$ — נגד אינו יכול לייצר אנרגיה, רק לפזר אותה.

תדר התהודה הטבעי $\omega_0$

הפרמטר $\omega_0$ נקרא תדר התהודה הטבעי (או התדר הטבעי הלא־מרוסן). הוא מבטא את הקצב שבו האנרגיה הייתה מתחלפת בין הקבל לסליל אילו לא היה כלל ריסון. הוא נובע מהקבל ומהסליל, ונמדד ביחידות של תדר זוויתי, $[\mathrm{rad}/\mathrm{sec}]$ :

[\omega_0]=\frac{\mathrm{rad}}{\mathrm{sec}}

למעגל LC טהור (ללא נגד) מתקיים $\omega_0=\frac{1}{\sqrt{LC}}$ . זהו התדר שבו המעגל "אוהב" להתנדנד. כפי שראינו בבדיקת היחידות בעמוד הקודם, $\sqrt{LC}$ הוא בעל יחידות של זמן, ולכן $\omega_0$ אכן יוצא ביחידות של $1/\mathrm{sec}$ .

בדיקת יחידות של הצורה הסטנדרטית

ניתן לאמת את שתי היחידות מתוך המד״ר עצמה. האיבר $\ddot y$ הוא ביחידות $y/\mathrm{sec}^2$ . כדי שהאיבר $2\alpha\dot y$ יהיה באותן יחידות, $\alpha$ חייב להיות $1/\mathrm{sec}$ . כדי שהאיבר $\omega_0^2\,y$ יהיה באותן יחידות, $\omega_0^2$ חייב להיות $1/\mathrm{sec}^2$ — ולכן $\omega_0$ ביחידות $1/\mathrm{sec}$ . הכול עקבי.

פרק 6

גזירת המד״ר ממעגל RLC טורי

נדגים כעת כיצד הצורה הסטנדרטית נובעת ישירות ממעגל קונקרטי. ניקח את המעגל הקלאסי ביותר: RLC טורי — נגד, סליל וקבל המחוברים בטור עם מקור מתח. זהו המעגל שאת מבנהו נראה גם בדוגמה הראשונה בהמשך.

איור 1: מעגל RLC טורי — מקור מתח V_S, קבל C, נגד R וסליל L בטור. אותו זרם i(t) זורם בכל הרכיבים, ולכן נוח לכתוב KVL סביב הלולאה.

שלב 1 — חוק קירכהוף למתחים (KVL)

מאחר שכל הרכיבים בטור, אותו זרם $$i(t)$$ זורם בכולם. נכתוב KVL סביב הלולאה — סכום מפלי המתח שווה למתח המקור:

\[ V_C(t)+V_R(t)+V_L(t)=V_S(t) \]

שלב 2 — הצבת משוואות הרכיבים

נציב כעת את הקשר בין מתח לזרם בכל רכיב. על הנגד $$V_R=iR$$ , על הסליל $V_L=L\frac{di}{dt}$ , ועל הקבל המתח הוא האינטגרל של הזרם:

\frac{1}{C}\int_{0}^{t}i\,d\tau+V_C(0)+iR+L\frac{di}{dt}=V_S(t)

שלב 3 — גזירה לסילוק האינטגרל

קיבלנו משוואה אינטגרו־דיפרנציאלית — מעורבת אינטגרל ונגזרת. כדי להפוך אותה למד״ר נקייה, נגזור את שני האגפים לפי הזמן. הגזירה מסלקת את האינטגרל (נגזרת של אינטגרל היא האינטגרנד) ואת הקבוע $$V_C(0)$$ :

\frac{1}{C}\,i+R\frac{di}{dt}+L\frac{d^2 i}{dt^2}=\frac{dV_S}{dt}

שלב 4 — נרמול המקדם המוביל

נחלק את כל המשוואה ב־ $$L$$ , כדי שמקדם הנגזרת השנייה יהיה $$1$$ — זוהי הצורה הסטנדרטית:

\frac{d^2 i}{dt^2}+\frac{R}{L}\frac{di}{dt}+\frac{1}{LC}\,i=\frac{1}{L}\frac{dV_S}{dt}

שלב 5 — זיהוי הפרמטרים

נשווה את המשוואה לצורה הסטנדרטית $\ddot y+2\alpha\dot y+\omega_0^2 y=f$ . ההשוואה מיידית ומלמדת:

2\alpha=\frac{R}{L}\;\Rightarrow\;\alpha=\frac{R}{2L}, \qquad \omega_0^2=\frac{1}{LC}\;\Rightarrow\;\omega_0=\frac{1}{\sqrt{LC}}

שימו לב מי קובע מה

הריסון $\alpha=\frac{R}{2L}$ מערב את הנגד — ההגיון הפיזיקלי: הנגד הוא שמפזר את האנרגיה. התדר הטבעי $\omega_0=\frac{1}{\sqrt{LC}}$ מערב רק את $$L$$ ו־ $$C$$ — שני אוגרי האנרגיה שמתחלפים ביניהם. במעגל RLC מקבילי הצורה שונה (שם $\alpha=\frac{1}{2RC}$ ), אך $\omega_0$ נשאר $\frac{1}{\sqrt{LC}}$ .

פרק 7

הפולינום האופייני והתדרים הטבעיים

לב הפתרון של מד״ר מסדר שני הוא פתרון המשוואה ההומוגנית — המשוואה ללא עירור ( $$f(t)=0$$ ). זהו החלק שקובע את אופי התגובה: האם היא דועכת חלק, מתנדנדת, או מצב ביניים.

\ddot y+2\alpha\dot y+\omega_0^2 y=0

הניחוש האקספוננציאלי

ננחש פתרון בצורה אקספוננציאלית, כפי שנהוג במשוואות דיפרנציאליות ליניאריות עם מקדמים קבועים. הסיבה לכך היא שאם גוזרים פונקציה מהצורה $e^{st}$ , מתקבלת שוב אותה פונקציה, רק מוכפלת בקבוע:

\frac{d}{dt}e^{st}=s e^{st}, \qquad \frac{d^2}{dt^2}e^{st}=s^2 e^{st}

לכן, כאשר מציבים $y_h(t)=e^{st}$ במשוואה הדיפרנציאלית ההומוגנית, כל נגזרת הופכת לכפל ב־ $$s$$ . כך המשוואה הדיפרנציאלית הופכת למשוואה אלגברית עבור $$s$$ . לכן הניחוש האקספוננציאלי הוא הבחירה הטבעית במקרה זה.

y_h(t)=e^{st}

כאן $$s$$ הוא מספר (אולי מרוכב) שעלינו למצוא. נגזור: $\dot y=s\,e^{st}$ ו־ $\ddot y=s^2 e^{st}$ . נציב במשוואה ההומוגנית:

s^2 e^{st}+2\alpha s\,e^{st}+\omega_0^2 e^{st}=0

מאחר ש־ $e^{st}$ לעולם אינו אפס, נוכל לחלק בו. מתקבל הפולינום האופייני — משוואה אלגברית פשוטה ב־ $$s$$ :

P(s)=s^2+2\alpha s+\omega_0^2=0

זהו רגע מפתח: הפכנו בעיה דיפרנציאלית לבעיה אלגברית. הפולינום האופייני הוא "טביעת האצבע" של המעגל — הוא מקודד את כל המידע על $\alpha$ ו־ $\omega_0$ .

התדרים הטבעיים — שורשי הפולינום

נפתור את המשוואה הריבועית בנוסחת השורשים. השורשים נקראים התדרים הטבעיים של המעגל:

s_{1,2}=-\alpha\pm\sqrt{\alpha^2-\omega_0^2}

כל המידע על אופי התגובה חבוי כעת בביטוי שתחת השורש, $\alpha^2-\omega_0^2$ . סימנו הוא שיקבע אם השורשים ממשיים, זהים, או מרוכבים — ומכאן ינבעו ארבעת מצבי הריסון.

למה "תדרים"?

המונח "תדר" עשוי להפתיע כשהשורשים ממשיים (שם אין כלל תנודה). השם מגיע מהמקרה המרוכב, שבו לחלק הדמיוני של $$s$$ יש משמעות של תדר זוויתי אמיתי (קצב התנודה), ולחלק הממשי משמעות של קצב דעיכה. השם נשאר אחיד לכל המקרים, אך יש לזכור שמשמעותו הפיזיקלית משתנה לפי המצב.

הפתרון ההומוגני הכללי הוא צירוף ליניארי של שני הפתרונות הנובעים משני השורשים (כל עוד הם שונים):

y_h(t)=A\,e^{s_1 t}+B\,e^{s_2 t}

הקבועים $$A$$ ו־ $$B$$ ייקבעו בסוף מתוך שני תנאי ההתחלה. אך תחילה עלינו להבין את ארבע הצורות השונות שהפתרון יכול לקבל.

פרק 8

ארבעת מצבי הריסון

הביטוי שתחת השורש, $\alpha^2-\omega_0^2$ , קובע את כל אופי הפתרון. ההשוואה בין הריסון $\alpha$ לתדר הטבעי $\omega_0$ מחלקת את כל ההתנהגויות האפשריות לארבעה מצבים. נעבור עליהם אחד אחד — מהריסון החזק ביותר אל היעדר ריסון מוחלט.

מצב 1 — ריסון יתר (Over-damping)

כאשר $\alpha>\omega_0$ , הביטוי תחת השורש חיובי, ושני השורשים ממשיים, שונים ושליליים. הריסון (הנגד) חזק כל כך עד שהמערכת אינה מספיקה להתנדנד כלל — היא פשוט "זוחלת" בחזרה אל המנוחה:

בריסון יתר מתקבלת תגובה לא תנודתית: שילוב של שתי דעיכות אקספוננציאליות. בהתאם לתנאי ההתחלה, התגובה יכולה לדעוך ישירות או לעלות מעט ואז לדעוך.

s_{1,2}=-\alpha\pm\sqrt{\alpha^2-\omega_0^2}

מאחר ש־ $\alpha>\omega_0$ , מתקיים $\alpha^2-\omega_0^2>0$ , ולכן מתקבלים שני ערכים ממשיים ושליליים:

y_h(t)=A\,e^{s_1 t}+B\,e^{s_2 t}

התגובה היא סכום של שתי דעיכות אקספוננציאליות. אין כל תנודה — המוצא לכל היותר עולה לשיא אחד ואז דועך, או דועך ישירות, בהתאם לתנאי ההתחלה. זהו המצב של "מטוטלת בתוך דבש".

מצב 2 — ריסון קריטי (Critical damping)

כאשר $\alpha=\omega_0$ בדיוק, הביטוי תחת השורש מתאפס, ושני השורשים ממשיים, שליליים וזהים:

בריסון קריטי מתקבלת דעיכה לא תנודתית ומהירה במיוחד. זהו גבול המעבר: עדיין אין תנודות, אך הריסון הוא בדיוק הערך שמביא לחזרה המהירה ביותר למנוחה.

s_1=s_2=-\alpha

כאשר השורשים זהים, הצורה $Ae^{s_1 t}+Be^{s_2 t}$ אינה מספקת שני פתרונות בלתי־תלויים (היא קורסת לפתרון אחד). התיאוריה של מד״ר מלמדת שבמקרה זה הפתרון השני מתקבל בהכפלה ב־ $$t$$ :

y_h(t)=A\,e^{-\alpha t}+B\,t\,e^{-\alpha t}

זהו הגבול שבין דעיכה לתנודה — נקודת המעבר המדויקת. ריסון קריטי הוא הדעיכה המהירה ביותר האפשרית ללא תנודה (overshoot), ולכן הוא נחשק בתכן מערכות בקרה רבות (למשל בולמי זעזועים).

מצב 3 — תת־ריסון (Under-damping)

כאשר $\alpha<\omega_0$ , הביטוי תחת השורש שלילי, ושורשו הוא מספר מדומה. השורשים יוצאים מרוכבים — צמודים זה לזה. נגדיר את תדר התנודה המרוסן $\omega_d=\sqrt{\omega_0^2-\alpha^2}$ :

בתת־ריסון מתקבלת תגובה תנודתית דועכת. החלק הממשי של השורשים יוצר מעטפת דעיכה e^−αt, והחלק המדומה יוצר תנודה בתדר ω_d.

s_{1,2}=-\alpha\pm\sqrt{\alpha^2-\omega_0^2}=-\alpha\pm j\,\omega_d, \qquad \omega_d=\sqrt{\omega_0^2-\alpha^2}

לפי משפט אוילר, שורשים מרוכבים מולידים פתרון מתנדן ודועך: אקספוננט דועך ( $e^{-\alpha t}$ , מהחלק הממשי) הכופל פונקציה סינוסואידלית (מהחלק הדמיוני):

y_h(t)=e^{-\alpha t}\Bigl[A\sin(\omega_d t)+B\cos(\omega_d t)\Bigr]=K\,e^{-\alpha t}\cos(\omega_d t+\phi)

זוהי בדיוק "המטוטלת עם חיכוך קל": היא מתנדנדת קדימה ואחורה, אך משרעת התנודה דועכת בהדרגה לפי המעטפת $e^{-\alpha t}$ . ככל שהריסון קטן יותר, יהיו יותר תנודות לפני שהמערכת נחה. החלק הממשי $-\alpha$ שולט בדעיכה, והחלק הדמיוני $\omega_d$ שולט בקצב התנודה.

מצב 4 — חוסר ריסון (Undamped)

כאשר $\alpha=0$ (אין נגד כלל), השורשים מדומים טהורים — אין כלל חלק ממשי, ולכן אין דעיכה:

ללא ריסון אין איבוד אנרגיה, ולכן מתקבלת תנודה קבועה שאינה דועכת. זהו מודל אידיאלי של מעגל LC ללא נגד.

s_{1,2}=\pm j\,\omega_0

y_h(t)=A\sin(\omega_0 t)+B\cos(\omega_0 t)=K\cos(\omega_0 t+\phi)

זוהי תנודה הרמונית טהורה שנמשכת לנצח בתדר הטבעי $\omega_0$ — בדיוק מעגל ה־LC האידיאלי שתיארנו בפרק 2. במציאות אין מעגל כזה לחלוטין (תמיד יש התנגדות כלשהי), אך הוא מודל מועיל וגבול תיאורטי חשוב.

מצב	תנאי	שורשים	צורת הפתרון ההומוגני
ריסון יתר	$\alpha>\omega_0$	ממשיים שונים	$Ae^{s_1 t}+Be^{s_2 t}$
ריסון קריטי	$\alpha=\omega_0$	ממשיים זהים	$Ae^{-\alpha t}+Bte^{-\alpha t}$
תת־ריסון	$\alpha<\omega_0$	מרוכבים	$e^{-\alpha t}[A\sin\omega_d t+B\cos\omega_d t]$
חוסר ריסון	$\alpha=0$	מדומים טהורים	$A\sin\omega_0 t+B\cos\omega_0 t$

טעות נפוצה — אל תתבלבלו בין $\omega_0$ ל־ $\omega_d$

$\omega_0$ הוא התדר הטבעי הלא־מרוסן (תלוי רק ב־ $$L,C$$ ), בעוד $\omega_d=\sqrt{\omega_0^2-\alpha^2}$ הוא תדר התנודה האמיתי שנצפה בתת־ריסון, והוא תמיד קטן מ־ $\omega_0$ . הריסון לא רק מקטין את המשרעת — הוא גם מאט במעט את התנודה.

פרק 9

גורם האיכות $$Q$$

דרך נוחה ואחידה לאפיין "כמה מתנדן" המעגל היא באמצעות גודל חסר־ממד יחיד הנקרא גורם האיכות $$Q$$ . הוא מוגדר כיחס בין התדר הטבעי לבין הריסון:

Q=\frac{\omega_0}{2\alpha}

ככל ש־ $$Q$$ גדול יותר, המעגל "אוסילטורי" יותר — התנודות דועכות לאט והמערכת מתנדנדת פעמים רבות. ככל ש־ $$Q$$ קטן יותר, הדעיכה שולטת. נוח לתרגם את ארבעת מצבי הריסון ישירות לשפת $$Q$$ :

מצב	תנאי ב־ $\alpha,\omega_0$	תנאי ב־ $$Q$$
ריסון יתר	$\alpha>\omega_0$	$Q<\tfrac{1}{2}$
ריסון קריטי	$\alpha=\omega_0$	$Q=\tfrac{1}{2}$
תת־ריסון	$\alpha<\omega_0$	$Q>\tfrac{1}{2}$
חוסר ריסון	$\alpha=0$	$Q\to\infty$

הערך הקריטי $Q=\tfrac{1}{2}$

הערך $Q=\tfrac{1}{2}$ הוא קו פרשת המים: מתחתיו אין תנודה (ריסון יתר), מעליו יש תנודה דועכת (תת־ריסון), ובדיוק עליו נמצא הגבול (ריסון קריטי). זוהי דרך מהירה לדעת מראש את אופי הפתרון עוד לפני שפותרים את הפולינום האופייני.

פרק 10

ZIR, ZSR והפתרון המלא

בדיוק כמו במעגלים מסדר ראשון, נפרק את הפתרון לשני חלקים בעלי משמעות הנדסית: ה־ZIR (תגובה לאנרגיה אגורה בלבד) וה־ ZSR (תגובה לעירור בלבד). ההבדל היחיד הוא שכעת הפתרון ההומוגני אינו אקספוננט בודד, אלא אחת מארבע הצורות מפרק 8.

מתמטית, הפתרון הכללי של המד״ר המלאה הוא סכום של פתרון פרטי ופתרון הומוגני:

y(t)=y_p(t)+y_h(t)=y_p(t)+\bigl[A\,e^{s_1 t}+B\,e^{s_2 t}\bigr]

כאשר $$y_p(t)$$ הוא פתרון פרטי של המשוואה המלאה (בצורת העירור), והאיבר ההומוגני נושא שני קבועים חופשיים — בניגוד למעגל מסדר ראשון שבו היה קבוע יחיד.

ZIR — תגובה לתנאי התחלה בלבד

ה־ZIR (Zero Input Response) הוא תגובת המעגל כאשר מכבים את העירור ומשאירים רק את האנרגיה האגורה מראש. פותרים את המשוואה ההומוגנית $\ddot y+2\alpha\dot y+\omega_0^2 y=0$ , ומתאימים את שני הקבועים לשני תנאי ההתחלה האמיתיים של המעגל. הצורה נקבעת לפי מצב הריסון:

y_{\mathrm{ZIR}}(t)=\underbrace{A\,e^{s_1 t}+B\,e^{s_2 t}}_{\text{אחת מארבע הצורות}}

לדוגמה, מעגל RLC טורי ללא מקור, שבו הקבל טעון מראש או שבסליל זרם התחלתי — האנרגיה האגורה דועכת (ואולי מתנדנדת בדרכה) אל האפס.

ZSR — תגובה לעירור בלבד

ה־ZSR (Zero State Response) הוא תגובת המעגל כאשר מאפסים את כל תנאי ההתחלה (אנרגיה התחלתית אפס) ומשאירים רק את העירור החיצוני. הפתרון כולל פתרון פרטי בצורת העירור, ועוד מרכיב הומוגני שתפקידו "לתקן" את ההתחלה כך שתהיה אפסית:

y_{\mathrm{ZSR}}(t)=\Bigl[y_p(t)+A\,e^{s_1 t}+B\,e^{s_2 t}\Bigr]u(t)

את שני הקבועים $$A,B$$ שבתוך ה־ZSR קובעים מתוך שתי דרישות אפס: $y_{\mathrm{ZSR}}(0^+)=0$ וגם $\dot y_{\mathrm{ZSR}}(0^+)=0$ . שתי משוואות לשני נעלמים. כמו במעגל מסדר ראשון, המרכיב ההומוגני שבתוך ה־ZSR אינו "ZIR נוסף" — הוא רק איבר התאמה לתנאי התחלה אפסיים.

התגובה המלאה

התגובה המלאה היא סכום שתי התגובות:

y(t)=y_{\mathrm{ZIR}}(t)+y_{\mathrm{ZSR}}(t)

השוואה למעגל מסדר ראשון

כל המבנה הלוגי זהה למעגל מסדר ראשון — ZIR פלוס ZSR, עם פתרון פרטי בצורת העירור ומרכיב הומוגני. ההבדל היחיד: כעת הפתרון ההומוגני נושא שני קבועים במקום אחד, נדרשים שני תנאי התחלה במקום אחד, והצורה ההומוגנית עשויה להיות מתנדנת. כל מה שלמדתם על מעגלים מסדר ראשון מתרחב באופן טבעי.

פרק 11

תנאי התחלה — מציאת שני התנאים

מד״ר מסדר שני דורשת שני תנאי התחלה, אך לעיתים קרובות אנו "מקבלים" רק אחד מהם ישירות. זהו אחד הנושאים העדינים בפתרון, ולכן נפרק אותו בזהירות.

הגדלים הרציפים — נקודת המוצא

כמו במעגל מסדר ראשון, שני הגדלים הרציפים בזמן (כל עוד אין עירור הלם) הם מתח הקבל וזרם הסליל:

V_C(0^+)=V_C(0^-),\qquad I_L(0^+)=I_L(0^-)

אלה בדיוק שני הגדלים האוגרים אנרגיה. הם נתונים לנו בדרך כלל כתנאי ההתחלה הפיזיקליים של הבעיה.

הבעיה: המשתנה במד״ר אינו תמיד הגודל הרציף

נניח שכתבנו את המד״ר על הזרם $$i(t)$$ . אנו צריכים את $$i(0^+)$$ ו־ $\dot i(0^+)$ . אם המשתנה הוא זרם הסליל, אז $$i(0^+)$$ נתון ישירות מהרציפות. אבל את $\dot i(0^+)$ בדרך כלל לא נתון לנו — צריך לחלץ אותו.

הטכניקה: KVL/KCL ברגע $$0^+$$

הנגזרת מתחבאת במשוואת הרכיב. ברגע $$0^+$$ , נכתוב את חוק קירכהוף, ונשתמש במשוואת הסליל $V_L=L\,\dot i$ כדי לבודד את הנגזרת. לדוגמה, ב־RLC טורי ללא מקור:

V_C(0^+)+i(0^+)R+L\,\dot i(0^+)=0 \;\Longrightarrow\; \dot i(0^+)=-\frac{V_C(0^+)+i(0^+)R}{L}

וכך, מתוך הגדלים הרציפים $$V_C(0^+)$$ ו־ $$i(0^+)$$ (אותם אנו יודעים מהרציפות), חישבנו את תנאי ההתחלה השני $\dot i(0^+)$ . עכשיו יש לנו את שני התנאים הדרושים.

נקודה עדינה: רציפות הנגזרת בבעיית ZIR

כאשר אגף ימין של המד״ר אפס (אין עירור — בעיית ZIR), לא רק המוצא רציף אלא גם נגזרתו רציפה, מאחר שאין הלם שיגרום לקפיצה. זו עובדה שימושית: בבעיית ZIR ניתן להניח בבטחה $\dot y(0^+)=\dot y(0^-)$ . אם נתון לנו מתח קבל ברגע $$0^-$$ ואנו יודעים שהוא רציף, נשתמש בו ב־KVL כדי לחלץ את נגזרת הזרם — בדיוק כפי שמופיע בדוגמה הראשונה בהמשך.

מתי הרציפות נשברת?

כמו במעגל מסדר ראשון, רק עירור מסוג הלם $\delta(t)$ (או נגזרותיו) יכול לשבור את רציפות הגדלים הריאקטיביים. בבעיות ZSR עם עירור "רגיל" (מדרגה, רמפה, סינוס, אקספוננט) הרציפות נשמרת, ולכן $$V_C(0^+)=0$$ ו־ $$I_L(0^+)=0$$ (מצב אפס).

פרק 12

מתכון פתרון שלב־אחר־שלב

נסכם את כל מה שלמדנו לכדי תהליך עבודה אחיד שעובד עבור כל מעגל מסדר שני:

גזירת המד״ר

נכתוב KVL/KCL, נציב את משוואות הרכיבים, נגזור לסילוק אינטגרלים, ונחלק במקדם הנגזרת הגבוהה. נגיע לצורה הסטנדרטית $\ddot y+2\alpha\dot y+\omega_0^2 y=f(t)$ .

חילוץ $\alpha$ ו־ $\omega_0$

נשווה למד״ר הכללית ונקרא ישירות: $2\alpha=$ מקדם הנגזרת הראשונה, $\omega_0^2=$ מקדם המוצא. נחשב את $Q=\omega_0/2\alpha$ לזיהוי המצב.

פולינום אופייני ושורשים

נכתוב $P(s)=s^2+2\alpha s+\omega_0^2=0$ , נמצא את $s_{1,2}$ , ונשווה ל־4 האפשרויות כדי לבחור את צורת הפתרון ההומוגני.

מציאת ה־ZIR

נפתור את ההומוגנית עם שני תנאי ההתחלה האמיתיים. נחלץ את התנאי החסר (נגזרת) דרך KVL/KCL ב־ $$0^+$$ , ונקבע את שני הקבועים.

מציאת ה־ZSR

ננחש פתרון פרטי בצורת העירור, נוסיף מרכיב הומוגני עם שני קבועים, ונקבע אותם משתי דרישות אפס: $y_{\mathrm{ZSR}}(0^+)=0$ ו־ $\dot y_{\mathrm{ZSR}}(0^+)=0$ . נכפול ב־ $$u(t)$$ .

חיבור והפקת הגודל המבוקש

נחבר $y=y_{\mathrm{ZIR}}+y_{\mathrm{ZSR}}$ . אם נדרש גודל אחר (מתח על סליל וכו'), נגזור או נבצע אינטגרציה לפי משוואת הרכיב. נבדוק יחידות ושימור אנרגיה.

פרק 13

דוגמאות חישוב מלאות

נדגים את התהליך על שתי דוגמאות בעלות אופי שונה: בעיית ZIR בריסון קריטי (RLC טורי), ובעיית ZSR בתת־ריסון עם שימוש בתכונות LTI (RLC מקבילי).

דוגמה 1 — ZIR בריסון קריטי (RLC טורי)

נתון מעגל RLC טורי עם $\omega_0=12\,\mathrm{rad/sec}$ ו־ $C=\tfrac{1}{3}\,\mathrm{F}$ . תנאי ההתחלה: $V_C(0^-)=-1\,\mathrm{V}$ ו־ $i(0^-)=i_L(0^-)=2\,\mathrm{A}$ . נמצא את ערכי $$R,L$$ שיתנו $$Q=0.5$$ , ואת הזרם $$i(t)$$ במקרה זה. אין מקור — זוהי בעיית ZIR.

שלב 1 — KVL וגזירת המד״ר. סביב הלולאה הטורית:

V_C(0^-)+\frac{1}{C}\int_{0}^{t}i\,d\tau+iR+L\frac{di}{dt}=0

נגזור ונחלק ב־ $$L$$ :

\ddot i+\frac{R}{L}\dot i+\frac{1}{LC}\,i=0

שלב 2 — חילוץ הפרמטרים ומציאת $$R,L$$ . השוואה לצורה הכללית:

\omega_0^2=\frac{1}{LC}=144,\qquad 2\alpha=\frac{R}{L}

מהדרישה $Q=\frac{\omega_0}{2\alpha}=0.5$ נובע $\alpha=\omega_0$ (ריסון קריטי). מ־ $\omega_0^2=\frac{1}{LC}=144$ עם $C=\tfrac13$ מקבלים $L=\tfrac{1}{48}\,\mathrm{H}$ , ומ־ $2\omega_0=\frac{R}{L}$ מקבלים:

L=\frac{1}{48}\,\mathrm{H},\qquad R=\frac{1}{2}\,\Omega

שלב 3 — פולינום אופייני. עם הערכים, המד״ר היא $\ddot i+24\dot i+144\,i=0$ , ולכן:

P(s)=s^2+24s+144=0\;\Rightarrow\;s_{1,2}=-12\quad(\text{שורש כפול})

שני שורשים זהים — בדיוק כצפוי מ־ $$Q=0.5$$ (ריסון קריטי). הפתרון ההומוגני:

i_h(t)=A\,e^{-12t}+B\,t\,e^{-12t}

שלב 4 — תנאי התחלה. אין עירור, ולכן יש רציפות זרם הסליל: $i(0^+)=i(0^-)=2\,\mathrm{A}$ . את התנאי השני (הנגזרת) נחלץ מ־KVL ב־ $$0^+$$ , תוך שימוש ברציפות מתח הקבל $V_C(0^+)=-1\,\mathrm{V}$ :

V_C(0^+)+i(0^+)R+L\,\dot i(0^+)=0 \;\Rightarrow\; -1+2\cdot\tfrac12+\tfrac{1}{48}\,\dot i(0^+)=0 \;\Rightarrow\; \dot i(0^+)=0

שלב 5 — קביעת הקבועים. נציב את שני התנאים בפתרון:

i(0^+)=A=2,\qquad \dot i(0^+)=-12A+B=0\;\Rightarrow\;B=24

ומכאן הפתרון המלא:

i(t)=2\,e^{-12t}+24\,t\,e^{-12t}\qquad(t>0)

חלק ב — מתח הסליל. נגזור לפי $V_L=L\,\dot i$ עם $L=\tfrac{1}{48}$ :

V_L(t)=L\,\dot i(t)=\frac{1}{48}\bigl(-24e^{-12t}+24e^{-12t}-288t\,e^{-12t}\bigr)=-6t\,e^{-12t}

מתח הסליל מתחיל מאפס, יורד למינימום ואז חוזר לאפס. נמצא את זמן המינימום בגזירה והשוואה לאפס:

\frac{dV_L}{dt}=-6e^{-12t}+72t\,e^{-12t}=0 \;\Rightarrow\; t_{\text{ext}}=\frac{1}{12}\,\mathrm{sec},\quad V_{L,\text{ext}}\approx-0.184\,\mathrm{V}

בדיקת התנהגות גבולית

$V_L(t\to 0)=0$ ו־ $V_L(t\to\infty)=0$ — הגיוני: בהתחלה ובסוף אין שינוי משמעותי בזרם. בין לבין הזרם דועך בקצב המהיר ביותר ללא תנודה, כיאה לריסון קריטי. אין כל סינוס בפתרון — סימן ודאי שאנחנו לא בתת־ריסון.

דוגמה 2 — ZSR בתת־ריסון עם תכונת הגזירה (RLC מקבילי)

נתון מעגל RLC מקבילי עם מקור זרם: $C=0.5\,\mathrm{F}$ , $R=0.125\,\Omega$ , $L=20\,\mathrm{mH}$ , ותנאי התחלה אפס. נמצא תחילה את תגובת הרמפה (עירור $$i_s(t)=r(t)=t$$ ), ואז ננצל אותה למציאת תגובת המדרגה.

שלב א — KCL וגזירת המד״ר. בצומת המשותף, זרם המקור מתחלק בין שלושת הרכיבים המקבילים:

i_s=i_L+i_C+i_R=\frac{1}{L}\int_{-\infty}^{t}v\,d\tau+C\frac{dv}{dt}+\frac{1}{R}v

נגזור לפי הזמן ונחלק ב־ $$C$$ :

\ddot v+\frac{1}{RC}\dot v+\frac{1}{LC}\,v=\frac{1}{C}\,\dot i_s

שלב ב — הצבת ערכים. נחשב: $\frac{1}{RC}=\frac{1}{0.125\cdot0.5}=16$ , $\frac{1}{LC}=\frac{1}{0.02\cdot0.5}=100$ , $\frac{1}{C}=2$ . עבור עירור רמפה $$i_s=t$$ מתקיים $\dot i_s=u(t)$ :

\ddot v+16\dot v+100\,v=2\,u(t),\qquad v(0^-)=\dot v(0^-)=0

מאחר שאגף ימין של המד״ר מייצג את העירור שנכנס למשוואה, כל קפיצה בתגובה חייבת להיות “מאוזנת” על ידו. במד״ר מסדר ראשון, קפיצה ב־ $$y(t)$$ יוצרת הלם ב־ $\dot y(t)$ , ולכן קפיצה כזו אפשרית רק אם אגף ימין מכיל הלם. במד״ר מסדר שני, קפיצה ב־ $\dot y(t)$ יוצרת הלם ב־ $\ddot y(t)$ , ולכן גם היא דורשת הלם באגף ימין. לכן, עבור עירור רגיל כמו מדרגה או רמפה, שאינו הלם ואינו נגזרת של הלם, מתקבלת רציפות: $$y(0^+)=y(0^-)$$ ו־ $\dot y(0^+)=\dot y(0^-)$ . אם תנאי ההתחלה הם אפס, נקבל בפרט $$y(0^+)=0$$ ו־ $\dot y(0^+)=0$ .

שלב ג — פולינום אופייני וזיהוי המצב.

P(s)=s^2+16s+100=0\;\Rightarrow\;s_{1,2}=-8\pm 6j

שורשים מרוכבים — תת־ריסון, עם $\alpha=8$ ו־ $\omega_d=6$ . צורת ה־ZSR (פתרון פרטי קבוע $$D$$ עבור עירור מדרגה, ועוד מרכיב הומוגני מרוכב):

v_{\mathrm{ZSR}}(t)=\Bigl(e^{-8t}\bigl[A\cos(6t)+B\sin(6t)\bigr]+D\Bigr)u(t)

שלב ד — קביעת הקבועים. נציב את הפתרון הפרטי $$D$$ במד״ר (עבור $$t>0$$ ): $100D=2\Rightarrow D=0.02$ . משתי דרישות האפס:

v(0^+)=A+D=0\;\Rightarrow\;A=-0.02

\dot v(0^+)=-8A+6B=0\;\Rightarrow\;6B=8A\;\Rightarrow\;B=-\tfrac{2}{75}

תגובת הרמפה המתקבלת:

v_{\mathrm{ramp}}(t)=\Bigl(e^{-8t}\bigl[-\tfrac{2}{100}\cos(6t)-\tfrac{2}{75}\sin(6t)\bigr]+\tfrac{2}{100}\Bigr)u(t)

שלב ה — תגובת המדרגה דרך גזירה. כאן הטריק היפה: המדרגה היא הנגזרת של הרמפה. מתכונת הגזירה של מערכות LTI (פרק 14), תגובת המערכת לנגזרת העירור היא נגזרת התגובה. במקום לפתור הכול מחדש (וגם איננו יודעים לנחש פתרון פרטי להלם), נגזור את תגובת הרמפה. לאחר הגזירה והפישוט המלא של האיברים מתקבל:

v_{\mathrm{step}}(t)=\frac{1}{3}\,e^{-8t}\sin(6t)\,u(t)

למה הטריק עובד — ולמה הוא חוסך עבודה

עבור עירור מדרגה, לא קל לנחש פתרון פרטי (ובוודאי לא להלם, שהוא נגזרת המדרגה). תכונת הגזירה של מערכות LTI מאפשרת לעקוף את זה לחלוטין: אם כבר פתרנו לרמפה, מספיק לגזור פעם אחת כדי לקבל את המדרגה, ושוב כדי לקבל את ההלם. שלוש תגובות במחיר פתרון אחד. שימו לב שהתוצאה הסופית מתנדנדת ודועכת — חתימה ברורה של תת־ריסון.

פרק 14

תכונות מערכות LTI ככלי עזר ל־ZSR

מעגל ליניארי ניתן לתיאור כמערכת ליניארית קבועה בזמן (LTI), ולכן ניתן להשתמש בתכונות כמו סופרפוזיציה, הזזה בזמן, גזירה ואינטגרציה כדי למצוא תגובות לעירורים שונים. עם זאת, יש לשים לב שהתכונות האלה מתייחסות לתגובה הנובעת מהעירור החיצוני בלבד, כלומר ל־ $$ZSR$$ — תגובת מצב אפס, שבה מניחים כי $$v_C(0^-)=0$$ ו־ $$i_L(0^-)=0$$ . אם קיימים תנאי התחלה, למשל קבל טעון או זרם התחלתי בסליל, מתקבלת תגובה נוספת הנובעת מהאנרגיה ההתחלתית במעגל. תגובה זו נקראת $$ZIR$$ ויש לחשב אותה בנפרד ולהוסיף אותה לתגובה הכוללת.

נניח שעבור עירור $$f_i(t)$$ מתקבל מוצא $$g_i(t)$$ . אזי:

סופרפוזיציה

סכום העירורים $\sum f_i$ מוליד את סכום המוצאים $\sum g_i$ . ניתן לפרק עירור מסובך לרכיבים פשוטים ולפתור כל אחד בנפרד.

הזזה בזמן

עירור מוזז $$f_i(t-t_0)$$ מוליד מוצא מוזז $$g_i(t-t_0)$$ . זוהי "קביעות בזמן" של המערכת.

גזירה

עירור $\frac{d}{dt}f_i$ מוליד מוצא $\frac{d}{dt}g_i$ . בדיוק זה ניצלנו במעבר מתגובת רמפה לתגובת מדרגה בדוגמה 2.

אינטגרציה

עירור $\int_0^t f_i\,dt'$ מוליד מוצא $\int_0^t g_i\,dt'$ . הדואלי של תכונת הגזירה — מועיל למעבר ממדרגה לרמפה.

ליניאריות מלאה

לכל אופרטור ליניארי $$G$$ : $G[af_1+bf_2]=a\,G[f_1]+b\,G[f_2]$ . שילוב של סופרפוזיציה והומוגניות.

סיבתיות

במערכת סיבתית התגובה אינה מתחילה לפני העירור. לכן כל פתרון תקף רק עבור $t\geq 0$ , ומכאן הכפל ב־ $$u(t)$$ .

הערה על ZIR: התכונות שלעיל משמשות עבור $$ZSR$$ בלבד, כלומר עבור תגובה הנובעת מהעירור החיצוני כאשר תנאי ההתחלה מאופסים. ב־ $$ZIR$$ העירור החיצוני הוא אפס, והתגובה נובעת רק מהאנרגיה ההתחלתית בקבל או בסליל. לכן לא משתמשים כאן בתכונות כמו הזזת העירור, גזירת העירור או סופרפוזיציה בין עירורים שונים; את תגובת ה־ $$ZIR$$ מחשבים בנפרד ומוסיפים בסוף לתגובה הכוללת.

פרק 15

סיכום

מעגל מסדר שני נולד ברגע שמוסיפים למעגל שני רכיבים ריאקטיביים בלתי־תלויים — בדרך כלל קבל וסליל. האנרגיה יכולה כעת להתחלף ביניהם, ומכאן נולדת היכולת לתנודה. מתמטית, המעגל מתואר על ידי מד״ר מסדר שני, ופתרונה נקבע על ידי הפולינום האופייני ושורשיו — התדרים הטבעיים.

יחס יחיד, בין הריסון $\alpha$ לתדר הטבעי $\omega_0$ (או, באופן שקול, גורם האיכות $$Q$$ ), קובע את כל אופי התגובה ומחלק אותה לארבעה מצבים: ריסון יתר, ריסון קריטי, תת־ריסון, וחוסר ריסון. כל המבנה הלוגי — ZIR, ZSR, פתרון פרטי בצורת העירור — זהה למעגל מסדר ראשון, רק עם שני קבועים ושני תנאי התחלה במקום אחד.

שמונה כללי אצבע למעגלים מסדר שני

1. שני רכיבים ריאקטיביים בלתי־תלויים

\Leftarrow

מד״ר מסדר שני.

2. הצורה הסטנדרטית:

\ddot y+2\alpha\dot y+\omega_0^2 y=f(t)

3. פולינום אופייני

s^2+2\alpha s+\omega_0^2=0

, שורשיו = תדרים טבעיים.

4. סימן

\alpha^2-\omega_0^2

קובע את מצב הריסון.

Q=\omega_0/2\alpha

; הגבול הקריטי ב־

Q=\tfrac12

\(V_C\)

ו־

\(I_L\)

רציפים — אם אין עירור הלם.

7. דרושים שני תנאי התחלה; חלצו נגזרת דרך KVL/KCL ב־

\(0^+\)

8. נצלו תכונת הגזירה: רמפה

\leftarrow

מדרגה

\leftarrow

הלם.

השלב הבא

לאחר שליטה במעגלים מסדר שני, ניתן להתקדם אל ניתוח בתחום התדר — התמרת לפלס ותגובת תדר — שם הפולינום האופייני והתדרים הטבעיים יקבלו פירוש חדש ועוצמתי, ויאפשרו לפתור מעגלים מורכבים בקלות רבה.

חזרה לדף הקורס