מעגלים מסדר ראשון

פרק 1

מהו מעגל מסדר ראשון?

עד כה עסקנו במעגלים הבנויים מנגדים ומקורות בלבד. במעגלים כאלה, ברגע שאנו קובעים את ערכי המקורות, כל הזרמים והמתחים נקבעים מיידית ובאופן יחיד — הם פתרון של מערכת משוואות אלגברית. אין במעגלים אלה שום "זיכרון": הם אינם תלויים בעבר, ואינם מתפתחים בזמן.

ברגע שאנו מוסיפים למעגל רכיב ריאקטיבי — קבל או סליל — התמונה משתנה מהיסוד. רכיבים אלה אוגרים אנרגיה: הקבל אוגר אנרגיה בשדה חשמלי, והסליל אוגר אנרגיה בשדה מגנטי. אנרגיה אגורה אינה יכולה להופיע או להיעלם באופן מיידי, ולכן המעגל מקבל זיכרון: מצבו ברגע נתון תלוי בהיסטוריה שלו. מתמטית, הזיכרון הזה מתבטא בכך שמשוואות המעגל הופכות ממשוואות אלגבריות למשוואות דיפרנציאליות.

ההגדרה המדויקת

מעגל מסדר ראשון הוא מעגל המכיל רכיב ריאקטיבי בלתי־תלוי יחיד (קבל אחד או סליל אחד), בנוסף לנגדים ולמקורות. סדר המעגל שווה למספר הרכיבים הריאקטיביים הבלתי־תלויים — ולכן המודל המתמטי של מעגל כזה הוא משוואה דיפרנציאלית רגילה (מד״ר) מסדר ראשון. שני קבלים בטור או במקביל נחשבים רכיב יחיד, שכן ניתן לאחד אותם לקבל שקול אחד.

מטרת העמוד

נצא מהפיזיקה של הקבל והסליל, נראה כיצד נובעות מהם משוואות הזרם־מתח, נגזור מהן את המד״ר של המעגל, ונפתור אותה בצורה שיטתית. נסביר בפירוט מהיכן מגיע כל מרכיב בפתרון — מדוע הוא אקספוננציאלי, מהו קבוע הזמן, מדוע המתח על קבל והזרם בסליל רציפים, וכיצד מחברים את הכול לתגובה מלאה $y(t)=y_{\text{ZIR}}(t)+y_{\text{ZSR}}(t)$ .

פרק 2

הספק ואנרגיה — הבסיס שממנו הכול מתחיל

לפני שנדבר על רכיבים אוגרי אנרגיה, עלינו להגדיר במדויק מהי אנרגיה בהקשר חשמלי. הגודל המרכזי הוא ההספק הרגעי — קצב העברת האנרגיה דרך רכיב ברגע נתון. עבור רכיב שעליו שורר מתח $$V(t)$$ וזורם בו זרם $$I(t)$$ (במוסכמת הסימון הפסיבית):

P(t)=V(t)\,I(t)

ההספק נמדד בוואט $[\mathrm{W}]$ , והוא יכול להיות חיובי (הרכיב צורך אנרגיה) או שלילי (הרכיב מספק אנרגיה לשאר המעגל). זוהי נקודה עקרונית: נגד תמיד צורך הספק, אך רכיב ריאקטיבי יכול גם לצרוך וגם לפלוט — שכן הוא אוגר אנרגיה ומשחרר אותה.

האנרגיה אינה אלא צבירה של הספק לאורך זמן — כלומר האינטגרל של ההספק הרגעי. האנרגיה שנמסרה (או נצרכה) מזמן $$t_0$$ עד זמן $$t$$ היא:

W(t,t_0)=\int_{t_0}^{t}P(\tau)\,d\tau=\int_{t_0}^{t}V(\tau)\,I(\tau)\,d\tau

מדוע אינטגרל?

ההספק הוא קצב — אנרגיה לזמן $P=\frac{dW}{dt}$ . כדי לחזור מהקצב אל הכמות המצטברת, אנו עושים את הפעולה ההפוכה לגזירה: אינטגרציה. זוהי בדיוק המשמעות הפיזיקלית של הקשר $W=\int P\,dt$ — סכימה של תרומות אנרגיה אינפיניטסימליות $P\,dt$ לאורך פרק הזמן.

פרק 3

רכיבים ריאקטיביים: קבל וסליל

שני הרכיבים שמכניסים "זיכרון" למעגל הם הקבל והסליל. ההבדל המהותי בינם לבין הנגד הוא שהקשר שלהם בין מתח לזרם אינו אלגברי (כמו חוק אוהם $$V=IR$$ ), אלא קשר דיפרנציאלי — הוא מערב נגזרת או אינטגרל בזמן. זה בדיוק מקור היכולת שלהם לאגור אנרגיה ולהגיב לעבר.

נגד

מפזר אנרגיה כחום. הקשר אלגברי: $$V=IR$$ . חסר זיכרון — הזרם והמתח נקבעים זה מזה מיידית, ללא תלות בעבר.

קבל

אוגר אנרגיה בשדה חשמלי בין שתי לוחיות. הזרם פרופורציוני לנגזרת המתח: $I=C\,\frac{dV}{dt}$ .

סליל

אוגר אנרגיה בשדה מגנטי סביב ליפופים. המתח פרופורציוני לנגזרת הזרם: $V=L\,\frac{dI}{dt}$ .

שימו לב לסימטריה היפה בין שני הרכיבים: בקבל הזרם תלוי בנגזרת המתח, ובסליל המתח תלוי בנגזרת הזרם. סימטריה זו, הנקראת דואליות, תלווה אותנו לאורך כל הניתוח — כל משפט על קבלים יש לו תאום על סלילים, עם החלפת התפקידים של מתח וזרם.

פרק 4

הקבל לעומק — מהפיזיקה אל המשוואה

הקבל הוא רכיב חשמלי בעל היכולת לאגור מטען חשמלי ולפרוק אותו. מבחינה פיזיקלית, הוא בנוי משני מוליכים (לוחיות) המופרדים על ידי מבודד — חומר דיאלקטרי. כאשר מחברים מתח בין הלוחיות, מצטבר מטען חיובי על לוחית אחת ומטען שלילי שווה בגודלו על השנייה, ובין הלוחיות נוצר שדה חשמלי האוגר את האנרגיה.

הגדרת הקיבול

תכונת הקיבול $$C$$ מוגדרת כיחס בין המטען האגור $$Q$$ לבין הפרש הפוטנציאלים $$V$$ שעל הקבל:

C=\frac{Q}{V}

הקיבול נמדד בפאראד $[\mathrm{F}]$ , והוא תלוי בגיאומטריה של הקבל ובחומר הדיאלקטרי — ולא במתח או במטען עצמם. זהו פרמטר קבוע של הרכיב, בדיוק כפי שההתנגדות היא פרמטר קבוע של הנגד.

מהמטען אל הזרם — גזירת משוואת הזרם

כעת נחבר שתי עובדות. הראשונה היא ההגדרה של הזרם כקצב זרימת המטען — זוהי ההגדרה הפיזיקלית הבסיסית של זרם חשמלי:

I=\frac{dQ}{dt}

השנייה היא הגדרת הקיבול, שאותה נכתוב כ־ $Q=C\,V$ . נגזור את שני האגפים לפי הזמן. מאחר ש־ $$C$$ קבוע, הוא יוצא מחוץ לנגזרת:

I(t)=\frac{dQ}{dt}=\frac{d(CV)}{dt}=C\,\frac{dV}{dt}

זוהי משוואת הזרם־מתח היסודית של הקבל, והיא נגזרה ישירות משתי הגדרות פיזיקליות בלבד. שימו לב למסקנה המיידית: אם המתח קבוע בזמן, נגזרתו אפס, ולכן הזרם דרך הקבל מתאפס. במצב מתמיד (DC) הקבל מתנהג כנתק — מעגל פתוח.

הצורה האינטגרלית

לעיתים נוח לבטא את המתח כפונקציה של הזרם. נבודד את $$dV$$ ונבצע אינטגרציה משני האגפים מזמן $$0$$ עד $$t$$ :

V(t)=V(0)+\frac{1}{C}\int_{0}^{t}I(\tau)\,d\tau

האיבר $$V(0)$$ הוא המתח ההתחלתי על הקבל — וזהו בדיוק ה"זיכרון" שדיברנו עליו. הקבל זוכר את כל הזרם שעבר דרכו עד עתה, בצורת מטען אגור.

הספק ואנרגיה בקבל

נציב את משוואת הקבל בביטוי להספק. ההספק הרגעי הוא:

P_C(t)=V(t)\,I(t)=V(t)\,C\,\frac{dV}{dt}=C\,V(t)\,\dot V(t)

כדי לקבל את האנרגיה האגורה, נבצע אינטגרציה. נשתמש בטריק של הפרדת משתנים — נשים לב ש־ $V\,\dot V\,dt=V\,dV$ , ולכן:

W_C(t,t_0)=\int_{t_0}^{t}C\,V\,dV=\tfrac{1}{2}C\bigl(V^2(t)-V^2(t_0)\bigr)

מכאן נובע שהאנרגיה האגורה בקבל ברגע נתון היא $E_C(t)=\tfrac{1}{2}C\,V^2(t)$ . שימו לב שהאנרגיה תלויה בריבוע המתח, ולכן האנרגיה האגורה בקבל תמיד אי־שלילית.

עם זאת, השינוי באנרגיה של הקבל בין שני זמנים יכול להיות חיובי או שלילי: כאשר המתח על הקבל גדל, הקבל מקבל ואוגר אנרגיה; כאשר המתח על הקבל קטן, הקבל משחרר אנרגיה בחזרה למעגל.

זו הנקודה שמבדילה קבל אידיאלי מנגד: בקבל אידיאלי האנרגיה אינה מתבזבזת בתוך הרכיב, אלא נאגרת בשדה החשמלי ויכולה לחזור למעגל. לעומת זאת, בנגד האנרגיה שנכנסת לרכיב מתפזרת כחום ואינה חוזרת למעגל.

פרק 5

הסליל לעומק — דואליות מלאה לקבל

הסליל (משרן) הוא רכיב חשמלי בעל היכולת לאגור אנרגיה בשדה מגנטי. מבחינה פיזיקלית, הוא בנוי מגליל שעליו מלופפים ליפופים של תיל מוליך. כאשר זורם זרם בתיל, נוצר סביבו שדה מגנטי, ובשדה זה אגורה האנרגיה. ניסיון לשנות את הזרם משנה את השדה, והשינוי בשדה משרה מתח — זהו חוק האינדוקציה של פארדיי.

משוואת המתח־זרם של הסליל

חוק פארדיי, יחד עם הגדרת ההשראות $$L$$ (הנמדדת בהנרי $[\mathrm{H}]$ ), מוביל לקשר היסודי הבא — שהוא הדואלי המדויק של משוואת הקבל, עם החלפת התפקידים בין מתח לזרם:

V(t)=L\,\frac{dI}{dt}

המסקנה הדואלית מיידית: אם הזרם קבוע בזמן, נגזרתו אפס, ולכן המתח על הסליל מתאפס. במצב מתמיד (DC) הסליל מתנהג כקצר — חוט מוליך פשוט. שימו לב כיצד זה משלים את הקבל: הקבל הופך לנתק ב־DC, הסליל הופך לקצר.

הצורה האינטגרלית

בדומה לקבל, נבודד ונבצע אינטגרציה כדי לבטא את הזרם דרך המתח:

I(t)=I(0)+\frac{1}{L}\int_{0}^{t}V(\tau)\,d\tau

האיבר $$I(0)$$ הוא הזרם ההתחלתי דרך הסליל — וזהו הזיכרון של הסליל. בעוד שהקבל זוכר מתח, הסליל זוכר זרם.

הספק ואנרגיה בסליל

נחזור על אותו תהליך כמו בקבל, עם דואליות מלאה. ההספק הוא:

P_L(t)=V(t)\,I(t)=L\,\frac{dI}{dt}\,I=L\,I(t)\,\dot I(t)

ולאחר אינטגרציה בהפרדת משתנים מתקבלת האנרגיה האגורה:

W_L(t,t_0)=\tfrac{1}{2}L\bigl(I^2(t)-I^2(t_0)\bigr)

האנרגיה האגורה בסליל ברגע נתון היא אם כן $W_L=\tfrac{1}{2}L\,I^2$ — תלויה בריבוע הזרם, ולכן תמיד אי־שלילית. שוב, הסליל אוגר ומשחרר אנרגיה אך אינו מפזר אותה.

תכונה	קבל	סליל
גודל אגור	מטען / שדה חשמלי	זרם / שדה מגנטי
משוואת זרם־מתח	$I=C\,\dfrac{dV}{dt}$	$V=L\,\dfrac{dI}{dt}$
התנהגות ב־DC	נתק (מעגל פתוח)	קצר (חוט מוליך)
הגודל הרציף בזמן	מתח $$V_C$$	זרם $$I_L$$
אנרגיה אגורה	$\tfrac{1}{2}C\,V^2$	$\tfrac{1}{2}L\,I^2$

פרק 6

מהיכן מגיע "הסדר" של המעגל?

המונח "מעגל מסדר ראשון" אינו שרירותי — הוא מתאר במדויק את מבנה המשוואה המתמטית שתתקבל. סדר המעגל שווה לסדר המשוואה הדיפרנציאלית המתארת אותו, וזה בתורו שווה למספר הרכיבים הריאקטיביים הבלתי־תלויים.

הסיבה לכך מעוגנת במשוואות הרכיבים. כל קבל וכל סליל תורם נגזרת אחת למשוואה (דרך $I=C\dot V$ או $V=L\dot I$ ). רכיב ריאקטיבי אחד מכניס נגזרת ראשונה אחת — ולכן מד״ר מסדר ראשון. שני רכיבים בלתי־תלויים יכניסו נגזרת שנייה — מד״ר מסדר שני, וכן הלאה.

מהי "בלתי־תלות"?

קבלים וסלילים נחשבים בלתי־תלויים אם לא ניתן לצרף אותם עם רכיבים אחרים מאותו סוג (בטור או במקביל) לכדי רכיב שקול יחיד. למשל, שני קבלים במקביל מתאחדים לקבל אחד $C_{eq}=C_1+C_2$ — ולכן הם רכיב אחד בלתי־תלוי, והמעגל נשאר מסדר ראשון. חשוב לבצע את האיחוד הזה לפני שסופרים את הסדר.

פרק 7

גזירת המשוואה הדיפרנציאלית מהמעגל

זהו הצעד המרכזי בניתוח. נראה כיצד חוקי קירכהוף, יחד עם משוואות הרכיבים, מובילים בהכרח למשוואה דיפרנציאלית מסדר ראשון. התהליך הוא תמיד אותו תהליך, ללא תלות במעגל הספציפי.

כתיבת חוק קירכהוף

נכתוב KVL (חוק המתחים) לולאה, או KCL (חוק הזרמים) לצומת, בהתאם למבנה המעגל. נקבל משוואה אחת המקשרת בין מתחי וזרמי הרכיבים.

הצבת משוואות הרכיבים

נחליף כל מתח על נגד ב־ $$IR$$ , ונכניס את משוואת הקבל $I=C\dot V$ או הסליל $V=L\dot I$ . כאן נכנסת הנגזרת.

בחירת המשתנה הנכון

נעדיף משוואה על $$V_C$$ עבור קבלים, ועל $$I_L$$ עבור סלילים. כך נקבל משוואה דיפרנציאלית "נקייה", ולא משוואה אינטגרלית.

נרמול המקדם

נחלק במקדם הנגזרת הגבוהה ביותר, כך שמקדם הנגזרת יהיה $$1$$ . מתקבלת הצורה הסטנדרטית שממנה נקרא ישירות את קבוע הזמן.

הצורה הסטנדרטית של המד״ר

לאחר התהליך, כל מעגל מסדר ראשון מגיע לצורה האחידה הבאה, כאשר $$y$$ הוא המשתנה הנבחר ( $$V_C$$ או $$I_L$$ ):

\dot y+\frac{1}{\tau}\,y=f(t)

כאן $\tau$ הוא קבוע הזמן של המעגל (פרק 8), ו־ $$f(t)$$ הוא אגף ימין — ביטוי הנובע מהמקורות (העירור). אם אין מקורות, $$f(t)=0$$ והמשוואה הומוגנית. כל המידע על מבנה המעגל מצוי בשני הגדלים האלה בלבד.

טיפ קריטי לפיתוח

כדי לאתר טעויות בקלות, תמיד פתחו את המד״ר באופן סימבולי (עם אותיות — $$R, C, L$$ ) ורק בסוף הציבו ערכים מספריים. כך תוכלו לבצע בדיקת יחידות (פרק 12) ולוודא שקבוע הזמן יצא ביחידות של זמן.

פרק 8

קבוע הזמן $\tau$ ומשמעותו הפיזיקלית

קבוע הזמן $\tau$ הוא הפרמטר היחיד שקובע את קצב ההתפתחות של המעגל בזמן. הוא נמדד בשניות, ומבחינה מתמטית הוא ההופכי של המקדם של $$y$$ בצורה הסטנדרטית. עבור המעגלים הנפוצים:

\tau_{RC}=R\,C,\qquad \tau_{RL}=\frac{L}{R}

המשמעות הפיזיקלית: $\tau$ הוא הזמן הדרוש לתגובה אקספוננציאלית לרדת לכ־ $37\%$ מערכה ההתחלתי (מדויק: $e^{-1}\approx 0.368$ ), או לעלות לכ־ $63\%$ מהדרך אל ערכה הסופי. ככלל אצבע, לאחר כ־ $5\tau$ המעגל נחשב כמי שהגיע למצב מתמיד.

אינטואיציה: למה $$RC$$ ולמה $$L/R$$ ?

במעגל $$RC$$ , התנגדות גדולה מגבילה את הזרם הטוען את הקבל, וקיבול גדול דורש יותר מטען — שניהם מאטים את התהליך, ולכן $\tau=RC$ גדל עם שניהם. במעגל $$RL$$ , השראות גדולה "מתנגדת" לשינוי הזרם ומאטה את התגובה, אך התנגדות גדולה מאיצה את דעיכת הזרם — ולכן $$R$$ נמצא במכנה: $\tau=L/R$ .

פרק 9

ZIR, ZSR והפתרון המלא

כעת נפתור את המד״ר של מעגל מסדר ראשון. חשוב להבחין בין שתי צורות הסתכלות: הסתכלות מתמטית, שבה מפרקים את הפתרון לפתרון הומוגני ופתרון פרטי, והסתכלות פיזיקלית, שבה מפרקים את התגובה ל־ZIR ול־ZSR.

עבור משוואה מסדר ראשון מהצורה $\dot y+\frac{1}{\tau}y=f(t)$ , הפתרון המתמטי הכללי הוא:

y(t)=y_p(t)+A e^{-t/\tau}

כאשר $$y_p(t)$$ הוא פתרון פרטי של המשוואה המלאה, והאיבר $A e^{-t/\tau}$ הוא הפתרון ההומוגני. כלומר מבחינה מתמטית, במעגל מסדר ראשון יש תמיד צורה טבעית אחת של דעיכה: $e^{-t/\tau}$ .

ZIR — תגובה לתנאי התחלה בלבד

ה־ZIR, או Zero Input Response, הוא תגובת המעגל כאשר מכבים את הכניסה אך משאירים את תנאי ההתחלה של המעגל. פיזיקלית, זו התגובה שנובעת מאנרגיה שכבר הייתה אגורה בקבל או בסליל לפני רגע ההפעלה.

במקרה זה פותרים את המשוואה ההומוגנית:

\dot y+\frac{1}{\tau}y=0

אם תנאי ההתחלה הוא $$y(0^+)=K$$ , נקבל:

y_{\mathrm{ZIR}}(t)=K e^{-t/\tau}

כאן האיבר האקספוננציאלי באמת מייצג את דעיכת האנרגיה ההתחלתית של המעגל. לדוגמה: קבל טעון שמתפרק דרך נגד, או סליל עם זרם התחלתי שדועך דרך נגד.

ZSR — תגובה לכניסה בלבד

ה־ZSR, או Zero State Response, הוא תגובת המעגל כאשר מאפסים את תנאי ההתחלה ומשאירים רק את העירור החיצוני. כלומר מניחים:

y_{\mathrm{ZSR}}(0^+)=0

הפתרון במקרה זה אינו רק הפתרון הפרטי. בדרך כלל הוא כולל גם איבר אקספוננציאלי:

y_{\mathrm{ZSR}}(t)=\Bigl[y_p(t)+N e^{-t/\tau}\Bigr]u(t)

הנקודה החשובה היא שהאיבר $N e^{-t/\tau}$ שמופיע בתוך ה־ZSR אינו ZIR נוסף. הוא אמנם דומה בצורתו לפתרון ההומוגני, אך המשמעות שלו שונה: הוא איבר תיקון שנדרש כדי שהתגובה לכניסה בלבד תתחיל מתנאי התחלה אפסיים.

לכן קובעים את הקבוע $$N$$ מתוך הדרישה:

y_{\mathrm{ZSR}}(0^+)=0

כלומר:

\[ y_p(0^+)+N=0 \]

ולכן:

\[ N=-y_p(0^+) \]

מכאן מתקבל:

y_{\mathrm{ZSR}}(t)=\Bigl[y_p(t)-y_p(0^+)e^{-t/\tau}\Bigr]u(t)

הבהרה חשובה

גם ב־ZIR וגם ב־ZSR עשוי להופיע איבר מהצורה $e^{-t/\tau}$ , אבל הסיבה להופעתו שונה. ב־ZIR הוא נובע מאנרגיה התחלתית במעגל. ב־ZSR הוא נובע מהצורך להתאים את פתרון הכניסה לתנאי התחלה אפסיים. לכן לא נכון לומר שיש כאן “פעמיים ZIR”; נכון לומר שיש שני מקורות שונים לאיבר חולף מאותה צורה מתמטית.

התגובה המלאה

התגובה המלאה של מערכת ליניארית היא סכום שתי התגובות:

y(t)=y_{\mathrm{ZIR}}(t)+y_{\mathrm{ZSR}}(t)

נציב את הביטויים שקיבלנו:

y(t)=K e^{-t/\tau} + \Bigl[y_p(t)-y_p(0^+)e^{-t/\tau}\Bigr]u(t)

עבור $$t>0$$ מתקיים $$u(t)=1$$ , ולכן:

y(t)=K e^{-t/\tau}+y_p(t)-y_p(0^+)e^{-t/\tau}

כעת רואים בבירור ששני האיברים האקספוננציאליים אינם נשארים כשני “סוגי תגובות” נפרדים, אלא מתחברים לאיבר חולף אחד:

y(t)=y_p(t)+\Bigl[K-y_p(0^+)\Bigr]e^{-t/\tau}

כלומר בפתרון הסופי של מעגל מסדר ראשון יש פתרון פרטי, שמייצג את השפעת העירור, ועוד איבר חולף אחד, שמייצג את ההתאמה בין מצב ההתחלה של המעגל לבין המצב שאליו העירור מנסה להביא אותו.

דוגמה קצרה: כניסת מדרגה

נניח שהפתרון הפרטי הוא קבוע: $y_p(t)=Y_\infty$ . זה קורה למשל כאשר הכניסה היא מדרגת מתח או מדרגת זרם. אם תנאי ההתחלה הוא $$y(0^+)=y_0$$ , נקבל:

y(t)=Y_\infty+\bigl[y_0-Y_\infty\bigr]e^{-t/\tau}

זו הצורה המוכרת ביותר של תגובת מעגל מסדר ראשון: הערך מתחיל מ־ $$y_0$$ , שואף אל הערך הסופי $Y_\infty$ , והמעבר ביניהם מתבצע בקצב שנקבע על ידי קבוע הזמן $\tau$ .

לסיכום:

אפשר לומר כך: ה־ZIR מתאר מה המעגל עושה בגלל מה שהיה אגור בו לפני ההפעלה. ה־ZSR מתאר מה המעגל עושה בגלל המקור החיצוני, כאשר מתחילים מאפס אנרגיה. בתוך ה־ZSR מופיע איבר אקספוננציאלי, אך הוא אינו “עוד ZIR”; הוא רק מתקן את הפתרון כדי להתחיל מאפס. כאשר מחברים ZIR ו־ZSR, האיברים האקספוננציאליים מתאחדים לאיבר חולף אחד.

פרק 10

הפתרון הפרטי וטבלת העירורים

הפתרון הפרטי $$y_p(t)$$ הוא לב ה־ZSR, והוא תמיד דומה בצורתו לעירור. הרעיון הוא שאם מזינים את המעגל בפונקציה מסוג מסוים, התגובה ה"מאולצת" תהיה מאותו סוג. זהו עקרון יסודי במערכות ליניאריות: אקספוננט מוליד אקספוננט, סינוס מוליד סינוס, וקבוע מוליד קבוע.

הטבלה הבאה מציגה את הצורה של הפתרון הפרטי $$y_p(t)$$ עבור פונקציות העירור הנפוצות. הקבועים $D, E, \phi$ נמצאים על ידי הצבה במד״ר ופתרון אלגברי:

פונקציית העירור $$f(t)$$	צורת הפתרון הפרטי $$y_p(t)$$
פונקציית מדרגה $b\cdot u(t)$	$$D$$ (קבוע)
פונקציית רמפה $b\cdot r(t)$	$$D+Et$$
אקספוננט $b\,e^{-at}u(t)$	$D\,e^{-at}$
$b\cos(\omega t)$ או $b\sin(\omega t)$	$D\cos(\omega t)+E\sin(\omega t)=F\cos(\omega t+\phi)$

שימו לב לכלל המכפלה בגזירה

מאחר שפתרון ה־ZSR מוכפל בפונקציית מדרגה $$u(t)$$ , בעת הגזירה יש להשתמש בכלל המכפלה: $$[x(t)y(t)]'=x'(t)y(t)+x(t)y'(t)$$ . הגזירה של $$u(t)$$ מולידה פונקציית הלם $\delta(t)$ , ויש לטפל בה בנפרד מהמקדמים הרגילים. נראה זאת בפועל בדוגמה השנייה.

פרק 11

רציפות תנאי התחלה — מדוע ומתי

זהו אחד הנושאים העדינים והחשובים ביותר. מאחר שאנו מעוניינים בפתרון עבור $$t>0$$ (לעיתים המעגל כלל אינו מוגדר עבור $$t<0$$ ), אנו זקוקים לתנאי ההתחלה ברגע $$t=0^+$$ — מיד אחרי סגירת המפסק. השאלה היא: האם ערכי המתחים והזרמים יכולים "לקפוץ" באותו רגע?

הטענה המרכזית

באופן כללי, לא ניתן להניח רציפות שרירותית של כל גודל. אבל קיימת טענה חזקה ומדויקת: עבור כל עירור שאינו פונקציית הלם או נגזרותיה, מתקיים:

V_C(0^-)=V_C(0^+),\qquad I_L(0^-)=I_L(0^+)

כלומר, המתח על קבל רציף בזמן, והזרם דרך סליל רציף בזמן. אלה בדיוק שני הגדלים האוגרים אנרגיה.

מהיכן נובעת הרציפות?

הנימוק נובע ישירות מהפיזיקה והמתמטיקה גם יחד. נביט במשוואה האינטגרלית של הקבל:

V_C(0^+)=V_C(0^-)+\frac{1}{C}\int_{0^-}^{0^+}I(\tau)\,d\tau

אם הזרם $$I$$ חסום (סופי) — כפי שקורה כשהעירור אינו הלם — אזי האינטגרל על פרק זמן אפסי $$[0^-,0^+]$$ שווה לאפס, ולכן $$V_C(0^+)=V_C(0^-)$$ . פיזיקלית: כדי לקפוץ במתח הקבל מיידית, צריך להזריק כמות סופית של מטען בזמן אפסי — כלומר זרם אינסופי, שהוא בדיוק פונקציית הלם. אותו טיעון בדיוק, בדואליות, מסביר את רציפות הזרם בסליל.

מתי הרציפות נשברת?

כאשר העירור כן מכיל הלם $\delta(t)$ (או נגזרת של הלם), הרציפות עלולה להישבר. בדוגמה השלישית (שינוי כניסה #2) נראה שעירור הלם $V_S(t)=2\delta(t)$ גורם לזרם הסליל לקפוץ: $I_L(0^-)=0\neq I_L(0^+)=1\,\mathrm{A}$ . בהמשך הקורס נראה שעירור הלם שקול לשינוי תנאי ההתחלה.

למה ZIR תמיד רציף?

בבעיית ZIR אגף ימין של המשוואה הוא אפס (אין עירור), ולכן בוודאי אין הלם. מכאן שבבעיית ZIR תמיד ניתן להניח רציפות תנאי התחלה. ברוב בעיות ה־ZSR גם כן ניתן להניח רציפות, כל עוד העירור אינו הלם.

פרק 12

יחידות פיזיקליות ככלי בדיקה

אחד הכלים החזקים ביותר בבדיקת פתרון של מעגלים הוא בדיקת יחידות. גם אם הפיתוח האלגברי נראה נכון, יחידות לא מתאימות הן סימן כמעט ודאי לכך שנפלה טעות במשוואה, בסידור המד״ר, או בזיהוי קבוע הזמן.

הכלל המרכזי הוא פשוט:

.כל האיברים שמחוברים או מושווים באותה משוואה חייבים להיות בעלי אותן יחידות

למשל, אם קיבלנו משוואה מהצורה $\dot y+\frac{1}{\tau}y=f(t)$ , אז האיבר $\dot y$ הוא בעל יחידות של $y/\mathrm{sec}$ . לכן גם האיבר $\frac{1}{\tau}y$ חייב להיות בעל אותן יחידות. מכאן נובע ש־ $\frac{1}{\tau}$ חייב להיות ביחידות של $1/\mathrm{sec}$ , ולכן $\tau$ חייב להיות בזמן, כלומר בשניות.

[\tau]=[\mathrm{sec}]

זו גם הסיבה שהביטוי $e^{-t/\tau}$ תקין מבחינה פיזיקלית: המעריך $-t/\tau$ חסר־ממד, משום שגם $$t$$ וגם $\tau$ נמדדים בשניות.

יחידות בסיסיות של הרכיבים

נתחיל מהיחידות של נגד, קבל וסליל:

[R]=\Omega=\frac{V}{A}

[C]=F=\frac{Q}{V}

מאחר שמטען הוא זרם כפול זמן, $Q=I\cdot t$ , נקבל:

[C]=\frac{A\cdot \mathrm{sec}}{V}

עבור סליל משתמשים בקשר $v_L=L\frac{di_L}{dt}$ . לכן:

[L]=\frac{V}{A/\mathrm{sec}}

[L]=\frac{V\cdot \mathrm{sec}}{A}

הוכחה ש־RC הוא זמן

במעגלי RC קבוע הזמן מופיע בדרך כלל בצורה $\tau=RC$ . נבדוק את היחידות:

\[ [RC]=[R][C] \]

[RC]=\left(\frac{V}{A}\right) \left(\frac{A\cdot \mathrm{sec}}{V}\right)

מצמצמים וולט ואמפר:

[RC]=\mathrm{sec}

לכן:

\boxed{\tau_{RC}=RC}

כלומר מכפלת נגד וקבל אכן נותנת גודל בעל יחידות של זמן.

הוכחה ש־L/R הוא זמן

במעגלי RL קבוע הזמן מופיע בדרך כלל בצורה $\tau=\frac{L}{R}$ . נבדוק את היחידות:

\left[\frac{L}{R}\right]=\frac{[L]}{[R]}

\left[\frac{L}{R}\right] = \frac{\frac{V\cdot \mathrm{sec}}{A}}{\frac{V}{A}}

\left[\frac{L}{R}\right] = \left(\frac{V\cdot \mathrm{sec}}{A}\right) \left(\frac{A}{V}\right)

שוב מצמצמים וולט ואמפר:

\left[\frac{L}{R}\right]=\mathrm{sec}

לכן:

\boxed{\tau_{RL}=\frac{L}{R}}

הוכחה ש־sqrt(LC) הוא זמן

במעגלים שבהם יש גם סליל וגם קבל, למשל במעגל LC, מופיע לעיתים הגודל $\sqrt{LC}$ . נבדוק קודם את היחידות של $$LC$$ :

\[ [LC]=[L][C] \]

[LC]= \left(\frac{V\cdot \mathrm{sec}}{A}\right) \left(\frac{A\cdot \mathrm{sec}}{V}\right)

מצמצמים וולט ואמפר:

[LC]=\mathrm{sec}^2

לכן:

[\sqrt{LC}]=\sqrt{\mathrm{sec}^2}=\mathrm{sec}

כלומר:

\boxed{\sqrt{LC}\ \text{has units of time}}

שימו לב להבחנה חשובה

$$LC$$ עצמו אינו בעל יחידות של זמן, אלא של זמן בריבוע: $[LC]=\mathrm{sec}^2$ . רק $\sqrt{LC}$ הוא בעל יחידות של זמן.

בדיקה מתוך משוואת RC

נראה איך בדיקת היחידות מופיעה ישירות מתוך משוואת מעגל RC. לדוגמה, עבור קבל הנטען דרך נגד, מתקבלת משוואה מהצורה:

C\frac{dv_C}{dt}+\frac{1}{R}v_C=\frac{1}{R}v_s(t)

נחלק ב־ $$C$$ :

\frac{dv_C}{dt}+\frac{1}{RC}v_C=\frac{1}{RC}v_s(t)

האיבר $\frac{dv_C}{dt}$ הוא בעל יחידות של $V/\mathrm{sec}$ . לכן גם האיבר $\frac{1}{RC}v_C$ חייב להיות בעל יחידות של $V/\mathrm{sec}$ . מכאן נובע ש־ $\frac{1}{RC}$ הוא ביחידות של $1/\mathrm{sec}$ , ולכן $$RC$$ הוא זמן.

בדיקה מתוך משוואת RL

עבור מעגל RL טורי, מקבלים בדרך כלל:

L\frac{di_L}{dt}+Ri_L=v_s(t)

נחלק ב־ $$L$$ :

\frac{di_L}{dt}+\frac{R}{L}i_L=\frac{1}{L}v_s(t)

האיבר $\frac{di_L}{dt}$ הוא בעל יחידות של $A/\mathrm{sec}$ . לכן גם $\frac{R}{L}i_L$ חייב להיות בעל יחידות של $A/\mathrm{sec}$ . מכאן:

\left[\frac{R}{L}\right]=\frac{1}{\mathrm{sec}} \qquad \Longrightarrow \qquad \left[\frac{L}{R}\right]=\mathrm{sec}

בדיקה מתוך משוואת LC

במעגל LC אידיאלי מתקבלת משוואה מסדר שני, למשל עבור מתח הקבל:

\frac{d^2v_C}{dt^2}+\frac{1}{LC}v_C=0

האיבר $\frac{d^2v_C}{dt^2}$ הוא בעל יחידות של $V/\mathrm{sec}^2$ . לכן גם האיבר $\frac{1}{LC}v_C$ חייב להיות בעל יחידות של $V/\mathrm{sec}^2$ . מכאן:

\left[\frac{1}{LC}\right]=\frac{1}{\mathrm{sec}^2} \qquad \Longrightarrow \qquad [LC]=\mathrm{sec}^2

ולכן $\sqrt{LC}$ הוא בעל יחידות של זמן. בנוסף, במעגל LC מופיע התדר הטבעי:

\omega_0=\frac{1}{\sqrt{LC}}

ומכיוון ש־ $\sqrt{LC}$ הוא זמן, אז $\omega_0$ הוא ביחידות של $1/\mathrm{sec}$ , כלומר רדיאנים לשנייה.

טבלת סיכום מהירה

גודל	בדיקת יחידות	מסקנה
$$RC$$	$\Omega\cdot F=\mathrm{sec}$	קבוע זמן של מעגל RC
$\frac{L}{R}$	$\frac{H}{\Omega}=\mathrm{sec}$	קבוע זמן של מעגל RL
$$LC$$	$H\cdot F=\mathrm{sec}^2$	זמן בריבוע
$\sqrt{LC}$	$\sqrt{\mathrm{sec}^2}=\mathrm{sec}$	זמן אופייני של מעגל LC
$\frac{1}{RC}$	$1/\mathrm{sec}$	קצב דעיכה
$\frac{R}{L}$	$1/\mathrm{sec}$	קצב דעיכה
$\frac{1}{\sqrt{LC}}$	$1/\mathrm{sec}$	תדר זוויתי טבעי

איך להשתמש בזה בזמן פתרון?

בכל פעם שמפתחים משוואה דיפרנציאלית למעגל, מומלץ לעצור לפני הצבת מספרים ולבדוק את היחידות בצורה סימבולית. לדוגמה, אם קיבלתם פתרון מהצורה:

e^{-t/(R/L)}

יש כאן בעיה: הביטוי $$R/L$$ הוא ביחידות של $1/\mathrm{sec}$ , ולכן $$t/(R/L)$$ אינו חסר־ממד. הפתרון הנכון במעגל RL צריך לכלול:

e^{-t/(L/R)}

או בצורה שקולה:

e^{-(R/L)t}

בשתי הצורות האלה המעריך חסר־ממד, ולכן הביטוי תקין.

כלל אצבע חשוב

כאשר הביטוי נמצא במכנה של $$t$$ בתוך אקספוננט, הוא חייב להיות זמן: $e^{-t/\tau}$ . כאשר הביטוי מוכפל ב־ $$t$$ , הוא חייב להיות קצב, כלומר $1/\mathrm{sec}$ : $e^{-\alpha t}$ . לכן $\tau$ ו־ $\alpha$ הם הופכיים: $\alpha=\frac{1}{\tau}$ .

פרק 13

מתכון פתרון שלב־אחר־שלב

נסכם את כל מה שלמדנו לכדי תהליך עבודה אחיד שעובד עבור כל מעגל מסדר ראשון:

כתיבת KCL/KVL וגזירת המד״ר

נכתוב את חוקי קירכהוף עבור $$V_C$$ או $$I_L$$ , נציב את משוואות הרכיבים ונגיע לצורה הסטנדרטית $\dot y+\frac{1}{\tau}y=f(t)$ .

מציאת ה־ZIR

נפתור את המשוואה ההומוגנית עם תנאי ההתחלה האמיתי: $y_{\text{ZIR}}(t)=K\,e^{-t/\tau}$ , כאשר $$K=y(0^+)$$ .

מציאת ה־ZSR

ננחש פתרון פרטי בצורת העירור (לפי הטבלה), נוסיף מרכיב הומוגני $N\,e^{-t/\tau}$ , נציב במד״ר למציאת הקבועים, ונכפול ב־ $$u(t)$$ .

חיבור והפקת הגודל המבוקש

נחבר $y(t)=y_{\text{ZIR}}+y_{\text{ZSR}}$ . אם נדרש גודל אחר (מתח על סליל, זרם דרך קבל), נגזור או נבצע אינטגרציה לפי משוואת הרכיב.

בחירת המשתנה הנכון — שוב

תמיד עדיף לכתוב משוואה על $$V_C$$ (לקבלים) או $$I_L$$ (לסלילים), שכן אלה הגדלים הרציפים שאת תנאי ההתחלה שלהם אנו מכירים. משוואה על הזרם דרך קבל או המתח על סליל תהיה אינטגרלית ולא דיפרנציאלית — ופחות נוחה לפתרון.

פרק 14

דוגמאות חישוב מלאות

נדגים את התהליך על שלוש דוגמאות בעלות אופי שונה: בעיית ZIR טהורה, בעיית ZIR+ZSR עם עירור סינוסואידלי, ובעיית עירור הלם השוברת רציפות.

דוגמה 1 — בעיית ZIR טהורה (שני קבלים ונגד)

נתון מעגל סגור המכיל שני קבלים $$C_1, C_2$$ ונגד $$R$$ בטור. תנאי ההתחלה: $V_{C_1}(0^-)=V_0$ ו־ $V_{C_2}(0^-)=0$ . לשם פשטות $$C_1=C_2=C$$ . אין מקור — זוהי בעיית ZIR. ברגע $$t=0$$ נסגר המפסק, והקבל הטעון מתחיל לפרוק לתוך הקבל הריק דרך הנגד.

איור 1: מעגל הדוגמה — שני קבלים C₁ ו־C₂ בטור עם נגד R, ומפסק הנסגר ברגע t = 0. בתחילה C₁ טעון למתח V₀ ו־C₂ ריק. עם סגירת המפסק זורם זרם i(t) הפורק את C₁ אל C₂ דרך הנגד, עד שהמתחים על שני הקבלים משתווים.

שלב 1 — גזירת המד״ר. נכתוב KVL סביב הלולאה לאחר סגירת המפסק ( $V_{C_1}-V_R-V_{C_2}=0$ ), נציב את קשרי המתח־זרם של הקבלים ושל הנגד, נגזור ונחלק ב־ $$R$$ :

\frac{d}{dt}i(t)+\frac{1}{R}\left(\frac{1}{C_1}+\frac{1}{C_2}\right)i(t)=0

קבוע הזמן, באופן סימבולי ואז עם הצבה:

\tau=\left[\frac{1}{R}\left(\frac{1}{C_1}+\frac{1}{C_2}\right)\right]^{-1}=R\,\frac{C_1 C_2}{C_1+C_2}\;\xrightarrow{\;C_1=C_2=C\;}\;\frac{RC}{2}

שלב 2 — תנאי התחלה על הזרם. המשתנה במד״ר הוא הזרם, אך תנאי ההתחלה נתונים על המתח. נשתמש ברציפות מתחי הקבלים וב־KVL ברגע $$0^+$$ עם חוק אוהם:

i(0^+)=\frac{V_{C_1}(0^-)-V_{C_2}(0^-)}{R}=\frac{V_0}{R}

שלב 3 — פתרון ה־ZIR. מהמד״ר הזרם אקספוננציאלי דועך:

i(t)=\frac{V_0}{R}\,e^{-t/\tau}=\frac{V_0}{R}\,e^{-2t/RC}\qquad (t>0)

שלב 4 — המתחים על הקבלים. נבצע אינטגרציה לפי משוואת הקבל. מתקבל (עבור $$t>0$$ ):

V_{C_1}(t)=\frac{V_0}{2}\left(1+e^{-t/\tau}\right),\qquad V_{C_2}(t)=\frac{V_0}{2}\left(1-e^{-t/\tau}\right)

המצב הסופי ( $t\to\infty$ ): הזרם מתאפס, אין מפל מתח על הנגד, ושני הקבלים מתייצבים על $V_{C_1}(\infty)=V_{C_2}(\infty)=\frac{V_0}{2}$ . המטען התחלק שווה בשווה — תוצאה הגיונית מאחר שאין מקור שיזין הספק לנצח.

בדיקת שימור אנרגיה

האנרגיה ההתחלתית $\tfrac{1}{2}CV_0^2$ מתחלקת: חלקה מתפזר בנגד כחום ( $\tfrac{1}{4}CV_0^2$ ), וחלקה נשאר אגור בשני הקבלים ( $2\cdot\tfrac{1}{2}C(\tfrac{V_0}{2})^2=\tfrac{1}{4}CV_0^2$ ). הסכום מתאזן בדיוק — חוק שימור האנרגיה מתקיים, וזו בדיקה מצוינת לפתרון.

דוגמה 2 — בעיית ZIR+ZSR עם עירור סינוסואידלי (סליל)

נתון מעגל עם סליל $L=1\,\mathrm{H}$ , שני נגדים $R_1=R_2=2\,\Omega$ , ומקור מתח $V_S(t)=10\sin(2t)u(t)$ . תנאי ההתחלה: $I_L(0^-)=1\,\mathrm{A}$ . נמצא את המתח על הסליל $$V_L(t)$$ .

שלב א — המד״ר. לאחר הפעלת KVL ו־KCL וחלוקה במקדם הנגזרת, מתקבלת הצורה הסטנדרטית ( $\tau=1$ ):

i'(t)+i(t)=\tfrac{1}{2}V_S(t)=5\sin(2t)\,u(t),\qquad i(0^-)=i(0^+)=1\,\mathrm{A}

הרציפות מתקיימת כי אין עירור הלם.

שלב ב — ZIR. פתרון המשוואה ההומוגנית עם $$i(0^+)=1$$ :

i_{\text{ZIR}}(t)=e^{-t}

שלב ג — ZSR. נניח פתרון פרטי בצורת העירור $i_p(t)=A\sin(2t)+B\cos(2t)$ , ונוסיף מרכיב הומוגני:

i_{\text{ZSR}}(t)=\Bigl[A\sin(2t)+B\cos(2t)+K\,e^{-t}\Bigr]u(t)

נציב במד״ר. כאן נכנס כלל המכפלה: גזירת $$u(t)$$ מולידה $\delta(t)$ . הפרדת מקדמי ההלם נותנת את תנאי ההתחלה $$B+K=0$$ , והפרדת מקדמי $\sin$ ו־ $\cos$ נותנת שתי משוואות נוספות. הפתרון:

A=1,\qquad B=-2,\qquad K=2

אם כן, הזרם הכולל הוא:

i(t)=\Bigl[\sin(2t)-2\cos(2t)+2e^{-t}\Bigr]u(t)+e^{-t}

שלב ד — המתח על הסליל. נגזור לפי $V_L=L\,\frac{di}{dt}$ (עם $$L=1$$ ). מרכיב ה־ $\delta$ מתאפס כי הוא מוכפל בביטוי שאפס ב־ $$t=0$$ :

V_L(t)=\Bigl[2\cos(2t)+4\sin(2t)-2e^{-t}\Bigr]u(t)-e^{-t}

שתי תובנות חשובות

ראשית, הפתרון תקף רק עבור $$t>0$$ — אין לנו מידע על המערכת לפני $$t=0^-$$ , והמערכת סיבתית (אינה מגיבה לפני שהעירור מתחיל). שנית, מאחר שבעירור אין הלם, גם במוצא אין הלם — לכניסה ולמוצא יש אותה דרגת סינגולריות.

דוגמה 3 — עירור הלם השובר רציפות

נשנה את העירור של אותו מעגל ל־ $V_S(t)=2\delta(t)$ — פונקציית הלם. תנאי ההתחלה נשמרים, ולכן ה־ZIR אינו משתנה: $V_{L,\text{ZIR}}(t)=e^{-t}$ .

העירור החדש הוא נגזרת של עירור מדרגה (כפול קבוע). מתכונת הגזירה של מערכות LTI (פרק 15), התגובה לנגזרת העירור היא נגזרת התגובה. ננצל זאת במקום לפתור מחדש. לאחר הגזירה והשימוש בזהות $f(t)\delta(t)=f(0)\delta(t)$ , מתקבל המתח:

V_L(t)=-e^{-t}u(t)+\delta(t)-e^{-t}

הזרם מתקבל באינטגרציה. הפעם הרציפות נשברת:

i_{\text{ZSR}}(0^-)=0\neq i_{\text{ZSR}}(0^+)=1\,\mathrm{A}

זהו בדיוק מה שצפינו בפרק 11: עירור הלם הוא היוצא מן הכלל המאפשר קפיצה בגודל הריאקטיבי. מאוחר יותר בקורס נראה שעירור הלם שקול בדיוק לשינוי תנאי ההתחלה — אינטואיציה עמוקה הקושרת בין שני העולמות.

פרק 15

תכונות מערכות LTI — כלים מתקדמים ל־ZSR

מעגל ליניארי הוא מערכת ליניארית קבועה בזמן (LTI — Linear Time Invariant). תכונות אלה מאפשרות לפתור בעיות מורכבות בקלות רבה, על ידי פירוקן לבעיות פשוטות. חשוב: התכונות תקפות ל־ZSR בלבד — לא לתנאי ההתחלה!

נניח שעבור עירור $$f_i(t)$$ מתקבל מוצא $$g_i(t)$$ . אזי:

סופרפוזיציה

סכום העירורים $\sum f_i(t)$ מוליד את סכום המוצאים $\sum g_i(t)$ . ניתן לפרק עירור מסובך לרכיבים פשוטים.

הזזה בזמן

עירור מוזז $$f_i(t-t_0)$$ מוליד מוצא מוזז $$g_i(t-t_0)$$ . זוהי תכונת ה"קביעות בזמן" של המערכת.

גזירה

עירור $\frac{d}{dt}f_i(t)$ מוליד מוצא $\frac{d}{dt}g_i(t)$ . זה בדיוק מה שניצלנו בדוגמה 3.

אינטגרציה

עירור $\int_0^t f_i\,dt'$ מוליד מוצא $\int_0^t g_i\,dt'$ . הדואלי של תכונת הגזירה.

ליניאריות מלאה

לכל אופרטור ליניארי $$G$$ : $G[a f_1+b f_2]=a\,G[f_1]+b\,G[f_2]$ . שילוב של סופרפוזיציה והומוגניות.

סיבתיות

במערכת סיבתית התגובה אינה מתחילה לפני העירור. לכן כל פתרון תקף רק עבור $t\geq 0$ , ומכאן הכפל ב־ $$u(t)$$ .

פרק 16

סיכום

מעגל מסדר ראשון נולד ברגע שמוסיפים למעגל רכיב ריאקטיבי יחיד — קבל או סליל — המכניס "זיכרון" בצורת אנרגיה אגורה. הזיכרון הזה הופך את משוואות המעגל למשוואה דיפרנציאלית מסדר ראשון, שפתרונה אקספוננציאלי באופיו.

הפתרון מתפרק לשני מרכיבים בעלי משמעות הנדסית: ה־ZIR (תגובה לאנרגיה האגורה) וה־ZSR (תגובה לעירור). חיבורם, יחד עם טיפול נכון ברציפות תנאי ההתחלה, נותן את התגובה המלאה של המעגל לכל זמן.

שבעה כללי אצבע למעגלים מסדר ראשון

1. רכיב ריאקטיבי יחיד

\Rightarrow

מד״ר מסדר ראשון.

2. כתבו משוואה על

\(V_C\)

(קבל) או

\(I_L\)

(סליל).

3. פתחו סימבולית, הציבו ערכים רק בסוף.

\tau_{RC}=RC

\tau_{RL}=L/R

— תמיד בשניות.

\(V_C\)

ו־

\(I_L\)

רציפים — אם אין עירור הלם.

y=y_{\text{ZIR}}+y_{\text{ZSR}}

, וכפלו ZSR ב־

\(u(t)\)

7. בדקו שימור אנרגיה ויחידות בסוף.

השלב הבא

לאחר שליטה במעגלים מסדר ראשון, השלב הטבעי הוא מעגלים מסדר שני — המכילים גם קבל וגם סליל. שם נפגוש משוואות דיפרנציאליות מסדר שני, תופעות תהודה, ותגובות מרוסנות ומתנדנדות.

חזרה לדף הקורס

מעגלים מסדר ראשון

מהו מעגל מסדר ראשון?

ההגדרה המדויקת

מטרת העמוד

הספק ואנרגיה — הבסיס שממנו הכול מתחיל

מדוע אינטגרל?

רכיבים ריאקטיביים: קבל וסליל

נגד

קבל

סליל

הקבל לעומק — מהפיזיקה אל המשוואה

הגדרת הקיבול

מהמטען אל הזרם — גזירת משוואת הזרם

הצורה האינטגרלית

הספק ואנרגיה בקבל

הסליל לעומק — דואליות מלאה לקבל

משוואת המתח־זרם של הסליל

הצורה האינטגרלית

הספק ואנרגיה בסליל

מהיכן מגיע "הסדר" של המעגל?

מהי "בלתי־תלות"?

גזירת המשוואה הדיפרנציאלית מהמעגל

כתיבת חוק קירכהוף

הצבת משוואות הרכיבים

בחירת המשתנה הנכון

נרמול המקדם

הצורה הסטנדרטית של המד״ר

טיפ קריטי לפיתוח

קבוע הזמן \(\tau\) ומשמעותו הפיזיקלית

אינטואיציה: למה \(RC\) ולמה \(L/R\)?

ZIR, ZSR והפתרון המלא

ZIR — תגובה לתנאי התחלה בלבד

ZSR — תגובה לכניסה בלבד

הבהרה חשובה

התגובה המלאה

דוגמה קצרה: כניסת מדרגה

לסיכום:

הפתרון הפרטי וטבלת העירורים

שימו לב לכלל המכפלה בגזירה

רציפות תנאי התחלה — מדוע ומתי

הטענה המרכזית

מהיכן נובעת הרציפות?

מתי הרציפות נשברת?

למה ZIR תמיד רציף?

יחידות פיזיקליות ככלי בדיקה

יחידות בסיסיות של הרכיבים

הוכחה ש־RC הוא זמן

הוכחה ש־L/R הוא זמן

הוכחה ש־sqrt(LC) הוא זמן

שימו לב להבחנה חשובה

בדיקה מתוך משוואת RC

בדיקה מתוך משוואת RL

בדיקה מתוך משוואת LC

טבלת סיכום מהירה

איך להשתמש בזה בזמן פתרון?

כלל אצבע חשוב

מתכון פתרון שלב־אחר־שלב

כתיבת KCL/KVL וגזירת המד״ר

מציאת ה־ZIR

מציאת ה־ZSR

חיבור והפקת הגודל המבוקש

בחירת המשתנה הנכון — שוב

דוגמאות חישוב מלאות

דוגמה 1 — בעיית ZIR טהורה (שני קבלים ונגד)

בדיקת שימור אנרגיה

דוגמה 2 — בעיית ZIR+ZSR עם עירור סינוסואידלי (סליל)

שתי תובנות חשובות

דוגמה 3 — עירור הלם השובר רציפות

תכונות מערכות LTI — כלים מתקדמים ל־ZSR

סופרפוזיציה

הזזה בזמן

גזירה

אינטגרציה

ליניאריות מלאה

סיבתיות

סיכום

שבעה כללי אצבע למעגלים מסדר ראשון

השלב הבא

hashmelamed

קבוע הזמן $\tau$ ומשמעותו הפיזיקלית

אינטואיציה: למה $\(RC\)$ ולמה $\(L/R\)$ ?