דיאגרמת-בודה

פרק 1

מהי תגובת תדר?

כשלימדנו תגובת מעבר שאלנו כיצד מעגל מגיב בזמן לשינוי פתאומי. עכשיו נשאל שאלה שונה ומשלימה: אם נזין את המעגל בסיגנל סינוסי בתדר קבוע ונחכה שהמצב יתייצב (מצב סינוסי עמיד), מה יקרה לאות? מסתבר שמערכת ליניארית עושה למעשה שני דברים בלבד לסינוס: היא מכפילה את המשרעת שלו בגורם כלשהו, ומזיזה אותו בפאזה. שני הגורמים הללו תלויים בתדר — וזו בדיוק תגובת התדר.

המפתח הוא שסינוס נכנס תמיד מוציא סינוס באותו תדר. לכן מספיק לדעת שני מספרים לכל תדר: פי כמה גדל או קטן המשרעת, ובכמה מעלות הוזז האות. אוסף כל הזוגות הללו, לאורך כל התדרים, הוא "טביעת האצבע" של המערכת בתחום התדר.

הרעיון המרכזי

תגובת תדר אינה תכונה של האות אלא של המערכת. אותה מערכת תעביר תדרים נמוכים באופן שונה מתדרים גבוהים — וזה בדיוק מה שהופך מעגל פשוט של נגד וקבל למסנן. דיאגרמת בודה היא הדרך לצייר את התנהגות המערכת הזו בצורה שאפשר לקרוא במבט.

אות כניסה סינוסי סינוס בתדר \(\omega\) עם משרעת ופאזה נתונות.

←

המערכת H(jω) מכפילה את המשרעת ומזיזה את הפאזה — לפי התדר.

←

אות מוצא סינוסי אותו תדר, משרעת חדשה ופאזה חדשה.

פרק 2

פונקציית התמסורת H(jω)

פונקציית תמסורת היא היחס בין פאזור אות המוצא לפאזור אות הכניסה. אות המוצא יכול להיות כל גודל שנבחר במעגל — מתח על רכיב, זרם בענף — ואות הכניסה הוא בדרך כלל המקור. במעגל ליניארי במצב סינוסי עמיד, היחס הזה תלוי אך ורק ברכיבי המעגל ובתדר:

H(j\omega)=\frac{\hat{V}_{\text{out}}(j\omega)}{\hat{V}_{\text{in}}(j\omega)}

פונקציית התמסורת היא מספר מרוכב עבור כל תדר. לכן נוח לפצל אותה לשני חלקים שאותם נצייר בנפרד: הגודל (המשרעת), שקובע פי כמה מוגבר האות, והפאזה, שקובעת בכמה הוזז האות. זוהי הסיבה שדיאגרמת בודה תמיד מורכבת משני גרפים זה מעל זה.

גרף ההגבר

|H(j\omega)| \;\longrightarrow\; 20\log_{10}|H| \;[\text{dB}]

מתאר פי כמה מוגברת המשרעת, ביחידות דציבל.

גרף הפאזה

\angle H(j\omega)\;[\text{deg}]

מתאר בכמה מעלות מוזז אות המוצא ביחס לכניסה.

למה התמסורת אף פעם לא תלויה בגודל המקור?

במערכת ליניארית, הכפלת הכניסה בקבוע מכפילה את המוצא באותו קבוע. לכן היחס מוצא/כניסה מתבטל מכל תלות במשרעת הכניסה, ונשארת תלות רק ברכיבים ובתדר. זו התכונה שמאפשרת בכלל לדבר על "תגובת תדר" כתכונה קבועה של המערכת.

פרק 3

למה דיאגרמת בודה?

במעגלים מורכבים, פונקציית התמסורת יכולה להיות מכפלה של הרבה גורמים. לצייר אותה נקודה־נקודה ידנית זו עבודה קשה ומועדת לטעויות. הנדריק בודה הציע רעיון אלגנטי: אם נעבור לסקאלה לוגריתמית בתדר ולדציבלים בהגבר, מכפלה של גורמים הופכת לחיבור של גרפים, וכל גורם בסיסי מתקרב לקווים ישרים.

20\log|H_1 H_2 H_3| = 20\log|H_1| + 20\log|H_2| + 20\log|H_3|

במילים אחרות: לוגריתם הופך כפל לחיבור. במקום להכפיל עקומות מסובכות, פשוט נשרטט את תרומת כל גורם בנפרד — כקווים ישרים בקירוב — ונחבר. זו כל הטכניקה של בודה, והיא עובדת גם עבור פונקציות מסובכות מאוד.

כפל → חיבור

גורמים מוכפלים בתמסורת הופכים לגרפים שמתחברים. זה הבסיס לכל השיטה.

עקומות → קווים

בסקאלה לוג, כל גורם בסיסי הופך בקירוב לקו ישר עם שיפוע קבוע.

טווח עצום

סקאלה לוגריתמית מציגה תדרים מ־\(1\) עד \(10^6\) על אותו ציר בלי לאבד פרטים.

פרק 4

דציבלים, דקדות וסקאלה לוגריתמית

לפני שנשרטט, צריך לדבר בשפה הנכונה. שלושה מושגים חוזרים בכל דיאגרמת בודה: הדציבל ליחידת ההגבר, הדקדה ליחידת התדר, והשיפוע שמחבר ביניהם.

דציבל [dB]

|H|_{\text{dB}} = 20\log_{10}|H|

הגבר של \(\times 10\) הוא \(20\) dB, הגבר של \(\times 100\) הוא \(40\) dB, והגבר \(1\) (ללא שינוי) הוא \(0\) dB.

דקדה

\omega \;\to\; 10\,\omega

דקדה היא מרווח תדר של פי \(10\). ציר התדר בבודה מדורג בדקדות: \(1,10,100,\dots\)

לכן שיפוע נמדד ב־dB לדקדה. שיפוע של \(20\,\text{dB/dec}\) אומר שההגבר עולה ב־\(20\) dB בכל פעם שהתדר גדל פי \(10\). קוטב בודד תורם \(-20\,\text{dB/dec}\), אפס בודד תורם \(+20\,\text{dB/dec}\), וזוג קטבים מרוכבים תורם \(-40\,\text{dB/dec}\).

יחס הגבר	בדציבלים	פירוש
\(\times 1\)	\(0\) dB	האות עובר ללא שינוי במשרעת.
\(\times \sqrt{2}\)	\(\approx 3\) dB	נקודת החצי־הספק; מגדיר את תדר הברך.
\(\times 10\)	\(20\) dB	הגבר של פי עשרה במשרעת.
\(\times \tfrac{1}{10}\)	\(-20\) dB	היחלשות של פי עשרה.
\(\times 100\)	\(40\) dB	הגבר של פי מאה.

למה 3 dB דווקא?

בתדר הברך של קוטב בודד, \(|H|=1/\sqrt{2}\), ולכן ההספק (שפרופורציוני לריבוע המשרעת) יורד בדיוק לחצי. מכאן השם "תדר החצי־הספק", והפער האופייני של \(3\) dB בין הקירוב האסימפטוטי לעקומה האמיתית בנקודת הברך.

פרק 5

אינטואיציה: מסנן גבוה ומסנן נמוך

הדרך הטובה ביותר להרגיש מהי תגובת תדר היא דרך שני מעגלי RC פשוטים. אותם שני רכיבים בדיוק — נגד וקבל — נותנים שתי התנהגויות הפוכות לחלוטין, תלוי איפה לוקחים את המוצא.

מסנן מעביר גבוהים (HPF)

מוצא על הנגד. במחלק מתח מקבלים:

H(j\omega)=\frac{R}{R+\frac{1}{j\omega C}}=\frac{j\omega RC}{1+j\omega RC}

בתדר נמוך הקבל "חוסם" והמוצא קטן; בתדר גבוה הקבל "מקצר" והמוצא שווה לכניסה. לכן תדרים גבוהים עוברים.

מסנן מעביר נמוכים (LPF)

מוצא על הקבל. במחלק מתח מקבלים:

H(j\omega)=\frac{\frac{1}{j\omega C}}{R+\frac{1}{j\omega C}}=\frac{1}{1+j\omega RC}

בתדר נמוך הקבל "חוסם" והמוצא שווה לכניסה; בתדר גבוה הקבל "מקצר" והמוצא קטן. לכן תדרים נמוכים עוברים.

שני המסננים חולקים את אותו תדר ברך \(\omega_c=1/RC\). ה־LPF מעביר מתחת אליו, ה־HPF מעליו. שים לב: זו הצגה לינארית של \(|H|\) לצורך אינטואיציה; בבודה נציג את אותו מידע בדציבלים ובסקאלת לוג, ואז ה"ברך" תיראה כמפגש שני קווים ישרים.

מכאן לבודה

שני המסננים האלה הם המקרה הפשוט ביותר: קוטב יחיד (ואפס בראשית, ב־HPF). בהמשך נראה שכל תמסורת, מסובכת ככל שתהיה, בנויה מאותן אבני בניין בסיסיות — וכל אחת מהן מציירים בבודה כקו ישר.

פרק 6

רעיון הפירוק

הטכניקה של בודה מבוססת על "שבירת" פונקציית התמסורת לתת־פונקציות פשוטות, שרטוט של כל אחת בנפרד, ואז חיבור כל השרטוטים. מכיוון שעברנו ללוגריתם, החיבור הזה לגיטימי: גרף ההגבר הכולל הוא סכום גרפי ההגבר, וגרף הפאזה הכולל הוא סכום גרפי הפאזה.

|H|_{\text{dB}} = \sum_i |H_i|_{\text{dB}}, \qquad \angle H = \sum_i \angle H_i

המפתיע הוא שיש רק שמונה סוגים של תת־פונקציות. אם יודעים לשרטט את שמונת המקרים האלה, יודעים לשרטט כל תמסורת שהיא. שמונת המקרים הם: הגבר קבוע, אפס/קוטב ממשי שמאלי, אפס/קוטב ממשי ימני, אפס/קוטב בראשית, וזוג אפסים/קטבים מרוכבים.

מנרמלים

מביאים את \(H\) לצורה סטנדרטית שבה כל גורם הוא \((1+j\omega/\omega_n)\).

מפרקים

מזהים כל גורם: קבוע, אפס, קוטב, אפס/קוטב בראשית, או זוג מרוכב.

משרטטים כל גורם

לפי הטבלה: שיפוע ותרומת פאזה, כל אחד בגרף נפרד.

מחברים

סוכמים אנכית את כל גרפי ההגבר, ובנפרד את כל גרפי הפאזה.

פרק 7

שמונה אבני הבניין

זהו הלב של השיטה. הטבלה הבאה מרכזת את תרומת כל גורם בסיסי לגרף ההגבר ולגרף הפאזה, גם בתדרים נמוכים (\(\omega \ll \omega_n\)) וגם בתדרים גבוהים (\(\omega \gg \omega_n\)). \(i\) מציין את סדר הריבוי (קוטב כפול הוא \(i=2\), וכן הלאה).

סוג השורש	צורה מנורמלת	שיפוע הגבר [dB/dec]	פאזה סופית
הגבר קבוע \(k>0\)	\(k\)	\(0\)	\(0\)
הגבר קבוע \(k<0\)	\(k\)	\(0\)	\(\pm 180^\circ\)
אפס ממשי שמאלי (סדר \(i\))	\(\left(1+j\frac{\omega}{\omega_n}\right)^{i}\)	\(+20\,i\)	\(+90^\circ\, i\)
אפס ממשי ימני (סדר \(i\))	\(\left(1-j\frac{\omega}{\omega_n}\right)^{i}\)	\(+20\,i\)	\(-90^\circ\, i\)
אפס בראשית (סדר \(i\))	\((j\omega)^{i}\)	\(+20\,i\)	\(+90^\circ\, i\)
קוטב ממשי שמאלי (סדר \(i\))	\(\dfrac{1}{\left(1+j\frac{\omega}{\omega_n}\right)^{i}}\)	\(-20\,i\)	\(-90^\circ\, i\)
קוטב ממשי ימני (סדר \(i\))	\(\dfrac{1}{\left(1-j\frac{\omega}{\omega_n}\right)^{i}}\)	\(-20\,i\)	\(+90^\circ\, i\)
קוטב בראשית (סדר \(i\))	\(\dfrac{1}{(j\omega)^{i}}\)	\(-20\,i\)	\(-90^\circ\, i\)
זוג קטבים מרוכבים (\(\|\xi\|<1\))	\(\dfrac{1}{1+2\xi\, j\frac{\omega}{\omega_n}-\left(\frac{\omega}{\omega_n}\right)^{2}}\)	\(-40\)	\(-180^\circ\)
זוג אפסים מרוכבים (\(\|\xi\|<1\))	\(1+2\xi\, j\frac{\omega}{\omega_n}-\left(\frac{\omega}{\omega_n}\right)^{2}\)	\(+40\)	\(+180^\circ\)

כיצד קוראים את הטבלה

כל גורם "שקט" מתחת לתדר הברך שלו \(\omega_n\) (שיפוע אפס, פאזה אפס) ו"מתעורר" מעליו. אפס מוסיף שיפוע חיובי, קוטב מוסיף שיפוע שלילי, וזוג מרוכב מכפיל הכל בשניים (\(\pm 40\) במקום \(\pm 20\)). שים לב לעדינות: אפס ימני ואפס שמאלי נותנים אותו שיפוע הגבר, אבל פאזה הפוכה — זה בדיוק ההבדל שמזהים מערכות "מינימום פאזה".

מעבר הפאזה אינו חד

בעקומה האסימפטוטית, את מעבר הפאזה של קוטב או אפס בודד לא מציירים כקפיצה, אלא כשינוי ליניארי לאורך שתי דקדות: מ־\(\omega_n/5\) ועד \(5\,\omega_n\). הפאזה במרכז המעבר, בדיוק ב־\(\omega=\omega_n\), היא חצי מהערך הסופי (למשל \(-45^\circ\) עבור קוטב שמאלי).

קוטב שמאלי בודד — הגבר

20\log\left|\frac{1}{1+j\omega/\omega_n}\right| =\begin{cases}0 & \omega\ll\omega_n\\[4pt]-20\log\frac{\omega}{\omega_n} & \omega\gg\omega_n\end{cases}

קוטב שמאלי בודד — פאזה

\angle\frac{1}{1+j\omega/\omega_n} =\begin{cases}0 & \omega\ll\omega_n\\[4pt]-90^\circ & \omega\gg\omega_n\end{cases}

פרק 8

הבאה לצורה סטנדרטית

כדי להשתמש בטבלה, כל גורם חייב להיראות כמו \((1+j\omega/\omega_n)\) — כלומר "1 ועוד משהו". זה מחייב שלב הכנה: מוציאים מכל סוגריים את האיבר הקבוע, כך שהמקדם החופשי יהיה 1. המקדמים שמוצאים מתאספים כולם להגבר ה־DC הכולל \(K\).

דוגמה להבאה לצורה סטנדרטית

נתחיל מ־\(G(s)=\dfrac{100\,s}{(s+1)(s+10)}\). נציב \(s=j\omega\) ונוציא קבועים:

G(j\omega)=\frac{100\,(j\omega)}{(1+j\omega)\,(10)(1+j\omega/10)} =10\cdot (j\omega)\cdot\frac{1}{1+j\omega}\cdot\frac{1}{1+j\omega/10}

עכשיו הפירוק מיידי: קבוע \(K=10\), אפס בראשית \((j\omega)\), קוטב שמאלי בתדר \(1\), וקוטב שמאלי בתדר \(10\). בדיוק ארבע אבני בניין מהטבלה. את זה נשרטט בפרק הבא.

אל תשכחו את הקבוע שיצא

כשמוציאים \(10\) מהמכנה, הוא הופך ל־\(1/10\) שמצטרף לקבוע הכולל. טעות נפוצה היא "לאבד" את הקבוע הזה ולקבל הגבר DC שגוי. תמיד עוקבים אחרי כל קבוע שיוצא מהסוגריים.

פרק 9

דוגמה מלאה: שרטוט צעד־אחר־צעד

נשרטט את דיאגרמת בודה המלאה של הפונקציה מהפרק הקודם:

G(j\omega)=10\cdot (j\omega)\cdot\frac{1}{1+j\omega}\cdot\frac{1}{1+j\omega/10}

ארבעת המרכיבים, ותרומת כל אחד לפי הטבלה:

מרכיב	סוג	שיפוע הגבר	תרומת פאזה
\(H_1=10\)	הגבר קבוע	\(0\) — קו אופקי ב־\(20\log 10=20\) dB	\(0\)
\(H_2=j\omega\)	אפס בראשית	\(+20\) dB/dec בכל התדרים	\(+90^\circ\) קבוע
\(H_3=\dfrac{1}{1+j\omega}\)	קוטב שמאלי ב־\(\omega=1\)	\(-20\) dB/dec מ־\(\omega=1\)	\(0\to-90^\circ\) סביב \(\omega=1\)
\(H_4=\dfrac{1}{1+j\omega/10}\)	קוטב שמאלי ב־\(\omega=10\)	\(-20\) dB/dec מ־\(\omega=10\)	\(0\to-90^\circ\) סביב \(\omega=10\)

סיכום השיפועים לפי אזורים

מחברים את השיפועים. מתחת ל־\(\omega=1\): רק האפס בראשית פעיל, ולכן \(+20\) dB/dec. בין \(1\) ל־\(10\): האפס (\(+20\)) והקוטב הראשון (\(-20\)) מתקזזים — שיפוע \(0\), קטע שטוח. מעל \(10\): נכנס הקוטב השני, ולכן \(-20\) dB/dec.

הקו הדק המקווקו הוא הקירוב האסימפטוטי (מה שמשרטטים ביד), והעקומה המלאה היא התגובה האמיתית. בהגבר: \(+20\) dB/dec עד \(\omega=1\), קטע שטוח סביב \(20\) dB בין \(1\) ל־\(10\), ואז \(-20\) dB/dec. בפאזה: מתחילה ב־\(+90^\circ\) (בגלל האפס בראשית), יורדת דרך \(0^\circ\) ומגיעה ל־\(-90^\circ\) בתדרים גבוהים.

בדיקת שפיות מהירה

ספירת מעלות: אפס בראשית נותן \(+90^\circ\), ושני קטבים שמאליים נותנים \(-90^\circ\) כל אחד, סך הכל \(+90-90-90=-90^\circ\) בתדר גבוה. זה בדיוק מה שהעקומה מראה. תמיד כדאי לבדוק את הפאזה האסימפטוטית הסופית מול ספירת האפסים והקטבים.

פרק 10

שחזור מערכת מגרף ההגבר

עד כאן הלכנו מהתמסורת לגרף. עכשיו נעשה את הכיוון ההפוך, שהוא שאלת מבחן קלאסית: נתונה עקומת בודה של ההגבר של מערכת מינימום פאזה (כל הקטבים והאפסים שמאליים), וצריך לשחזר את פונקציית התמסורת. נבחר תמיד את המערכת עם מספר הקטבים המינימלי.

הנתון

הגבר \(0\) dB בתדרים נמוכים, שמתחיל לרדת ב־\(-20\) dB/dec סביב תדר \(a\). אבל הפער בין העקומה האמיתית לקירוב האסימפטוטי בתדר \(a\) אינו \(3\) dB — ולכן זה לא יכול להיות קוטב פשוט.

זהו הטריק המרכזי. קוטב בודד תמיד נותן פער של בדיוק \(3\) dB בין הקירוב לעקומה בתדר הברך. אם הפער שונה, המערכת מסובכת יותר. אפשרות אלגנטית בעלת מספר קטבים מינימלי: זוג קטבים מרוכבים בתדר \(a\), יחד עם אפס שמאלי באותו תדר \(a\). מכיוון שמספר הקטבים גדול ב־1 ממספר האפסים, מתקבל שיפוע כולל של \(-20\) dB/dec מעל \(a\) — בדיוק כנדרש.

G(s)=K\,\frac{1+\dfrac{s}{a}}{1+2\xi\left(\dfrac{s}{a}\right)+\left(\dfrac{s}{a}\right)^{2}}

מציאת הקבועים

בתדרים נמוכים ההגבר הוא \(0\) dB, ולכן \(K=1\). את \(\xi\) מוצאים מהתנאי שההגבר המדויק בתדר \(\omega=a\) הוא בדיוק \(0\) dB (כלומר \(|G(ja)|=1\)):

|G(ja)|=\left|\frac{1+j}{2\xi j}\right|=\frac{\sqrt{2}}{2\xi}=1 \quad\Longrightarrow\quad \xi=\frac{1}{\sqrt{2}}

בחרנו את הערך החיובי כי המערכת מינימום־פאזה. הצבה נותנת את פונקציית התמסורת המלאה:

G(s)=\frac{1+\dfrac{s}{a}}{1+\sqrt{2}\left(\dfrac{s}{a}\right)+\left(\dfrac{s}{a}\right)^{2}} =\frac{a\,(s+a)}{s^{2}+\sqrt{2}\,a\,s+a^{2}}

עקומת הפאזה האסימפטוטית

בתדרים נמוכים מ־\(a\) הפאזה היא \(0\). בתדרים גבוהים מ־\(a\), האפס השמאלי תורם \(+90^\circ\) וזוג הקטבים המרוכבים תורם \(-180^\circ\), סך הכל \(-90^\circ\). המעבר מ־\(0^\circ\) ל־\(-90^\circ\) מתחיל ב־\(a/5\) ומסתיים ב־\(5a\).

הפאזה האסימפטוטית: קטע שטוח ב־\(0^\circ\) עד \(a/5\), ירידה ליניארית עד \(-90^\circ\) ב־\(5a\), ואז שטוח. שים לב שהאפס וזוג הקטבים משתפים אותו \(\omega_n=a\), ולכן ההשפעות שלהם על הפאזה נפרשות על אותו טווח.

למה זוג קטבים ואפס באותו תדר?

אילו האפס והקוטב היו באותו צד של המישור ובאותו תדר, הם היו מצטמצמים זה בזה ולא היו משפיעים כלל. הבחירה בזוג קטבים מרוכבים (שנותנים פער שונה מ־\(3\) dB) לצד אפס בודד היא מה שמסביר בו־זמנית גם את השיפוע וגם את הפער החריג בעקומת ההגבר.

פרק 11

מערכת מעבירת פס: מציאת כל הקבועים

דוגמה מסכמת של מערכת מינימום־פאזה שהקירוב האסימפטוטי של ההגבר שלה נראה כמו "גבעה": עולה, מגיע לפסגה, ויורד. נתון גרף עם שלושה תדרי ברך \(\omega_1,\omega_2,\omega_3\), עלייה של \(+20\) dB/dec ואז ירידה של \(-20\) dB/dec.

שלב א׳ — צורת התמסורת

עלייה של \(+20\) מרמזת על אפס בודד ב־\(\omega_1\). פסגה ואז ירידה תלולה יותר מרמזות על זוג קטבים מרוכבים ב־\(\omega_2\). הצורה הכללית:

G(s)=\frac{K\left(1+\dfrac{s}{\omega_1}\right)} {1+2\xi\left(\dfrac{s}{\omega_2}\right)+\left(\dfrac{s}{\omega_2}\right)^{2}}

שלב ב׳ — הקבוע K ותדרי הברך

מהגבר DC של \(5\) dB: \(\;K=10^{5/20}=1.78\). את תדרי הברך מוצאים מהשיפועים על הסקאלה הלוגריתמית. אם הגבר \(5\) dB ב־\(\omega_1\) ו־\(15\) dB ב־\(\omega_2=10\):

\frac{15-5}{\log 10-\log\omega_1}=20 \;\Longrightarrow\; \log\frac{10}{\omega_1}=\tfrac{1}{2} \;\Longrightarrow\; \omega_1=\sqrt{10}\approx 3.16

ובאותו אופן, מהירידה של \(-20\) dB/dec מעל \(\omega_2\):

\log\frac{\omega_3}{10}=\tfrac{1}{4} \;\Longrightarrow\; \omega_3=10^{5/4}\approx 17.3

שלב ג׳ — מקדם הריסון ξ מההגבר המדויק

נתון שההגבר האמיתי (לא האסימפטוטי) בתדר \(\omega_2=10\) הוא \(18.3\) dB, כלומר \(|G(j10)|=8.22\). מציבים ופותרים ל־\(\xi\):

|G(j10)|=\left|\frac{1.78\left(1+j\frac{10}{3.16}\right)} {1+2\xi\left(\frac{10j}{10}\right)+\left(\frac{10j}{10}\right)^{2}}\right| =\left|\frac{1.78\left(1+j\,3.16\right)}{2\xi j}\right|=8.22

\xi \approx 0.359

למה אי אפשר להשתמש בקירוב הפסגה?

הקירוב הידוע \(|G(\omega_n)|\approx \dfrac{1}{2\xi}\) לפסגת תהודה תקף רק כשזוג הקטבים "מבודד" — כלומר כשאין קטבים או אפסים אחרים בקרבתו (פער של לפחות דקדה). כאן יש אפס ב־\(\omega_1=3.16\) קרוב ל־\(\omega_2=10\), ולכן חייבים לחשב את ההגבר המדויק במלואו, כולל תרומת האפס, ולא להסתמך על הקירוב.

צורת "גבעה" אופיינית: קטע DC שטוח, עלייה של \(+20\) dB/dec מ־\(\omega_1\), פסגת תהודה סביב \(\omega_2\), ואז ירידה של \(-20\) dB/dec. הפסגה האמיתית (הקו הדק) גבוהה מהמפגש האסימפטוטי בגלל הריסון הנמוך.

פרק 12

תהודה ופסגת ההגבר

זוג קטבים מרוכבים הוא המקום שבו דיאגרמת בודה הופכת מעניינת. בניגוד לקוטב ממשי, שיורד באדישות, זוג מרוכב עם ריסון נמוך יוצר פסגת תהודה — ההגבר קופץ מעל הערך האסימפטוטי סמוך לתדר הטבעי \(\omega_n\). ככל שהריסון \(\xi\) קטן יותר, הפסגה גבוהה וחדה יותר.

גובה הפסגה (קטבים מבודדים)

|G(j\omega_r)|\approx \frac{1}{2\xi\sqrt{1-\xi^{2}}}

תקף רק כאשר \(\xi<\tfrac{1}{\sqrt{2}}\) ואין קטבים/אפסים אחרים בקרבת מקום.

תדר התהודה

\omega_r=\omega_n\sqrt{1-2\xi^{2}}

מעט נמוך מ־\(\omega_n\); עבור \(\xi\to0\) מתלכד עם התדר הטבעי.

מקדם ריסון \(\xi\)	התנהגות	פסגת תהודה
\(\xi \ge 1\)	ריסון־יתר / קריטי	אין פסגה; דומה לשני קטבים ממשיים.
\(\tfrac{1}{\sqrt2}<\xi<1\)	תת־ריסון קל	אין פסגה מעל \(0\) dB.
\(\xi=\tfrac{1}{\sqrt2}\)	גבול מקסימלי־שטוח	התגובה השטוחה ביותר ללא פסגה.
\(\xi<\tfrac{1}{\sqrt2}\)	תת־ריסון	פסגה ניכרת סביב \(\omega_n\).
\(\xi\to0\)	ללא ריסון	פסגה גבוהה מאוד וחדה.

הקשר לתגובת המעבר

אותו \(\xi\) שקובע את גובה הפסגה בתדר קובע גם את הנדנוד בזמן: ריסון נמוך משמעו פסגה חדה בבודה וגם נדנודים מתמשכים בתגובת המדרגה. תחום הזמן ותחום התדר מתארים את אותה מערכת משתי זוויות.

פרק 13

שימוש מקצועי בכלי

דיאגרמת בודה אינה תרגיל אקדמי בלבד. מהנדסים קוראים ממנה, במבט אחד, מידע קריטי לתכנון מסננים, מגברים ומערכות בקרה. הנה מה שהעקומה מספרת.

רוחב פס

תדר הברך שבו ההגבר יורד ב־\(3\) dB מגדיר את גבול "התדרים השימושיים". מעליו, האות נחלש מהר. זהו הפרמטר המרכזי בתכנון מסננים.

שיפוע = חדות

שיפוע תלול יותר (יותר קטבים) פירושו מסנן "חד" יותר שמפריד בין תדרים טוב יותר, אבל על חשבון עיוות פאזה גדול יותר.

שולי יציבות

בבקרה, הפאזה בתדר שבו ההגבר הוא \(0\) dB (שול הפאזה) קובעת אם לולאה סגורה תהיה יציבה. זו אולי הקריאה החשובה ביותר בבודה.

שולי הגבר ופאזה — הרעיון

כשסוגרים לולאת משוב, המערכת עלולה להפוך ללא יציבה אם בתדר כלשהו ההגבר הוא \(1\) (\(0\) dB) והפאזה \(-180^\circ\) בו־זמנית — אז המשוב השלילי הופך לחיובי. שני "מרווחי ביטחון" מודדים כמה רחוקים מהמצב הזה:

מדד	איפה קוראים	מה הוא אומר
שול פאזה	בתדר שבו \(\|H\|=0\) dB	כמה מעלות נשארו עד \(-180^\circ\). ערך גדול = יציבות טובה.
שול הגבר	בתדר שבו הפאזה \(-180^\circ\)	בכמה dB אפשר להעלות את ההגבר עד לאי־יציבות.

מדוע "מינימום פאזה" חשוב בתכנון

במערכת מינימום־פאזה, עקומת ההגבר קובעת באופן חד־ערכי את עקומת הפאזה. לכן מספיק לתכנן את ההגבר, והפאזה "נגררת" בהתאם. במערכות עם אפסים ימניים (למשל בהמרות הספק מסוימות) הקשר הזה נשבר, והפאזה עלולה להתנהג בצורה מפתיעה — נקודה קריטית בתכנון בקרה.

פרק 14

טעויות נפוצות

שרטוט בודה נראה מכני, אבל יש מלכודות שחוזרות כמעט בכל מבחן. הנה החשובות שבהן.

לא מנרמלים לצורה סטנדרטית

אם גורם אינו בצורה \((1+j\omega/\omega_n)\), הטבלה לא חלה עליו. תמיד מוציאים קבועים כך שהמקדם החופשי יהיה \(1\), ומאחדים את כל הקבועים ל־\(K\).

שוכחים שציר התדר לוגריתמי

שיפוע של \(20\) dB/dec הוא לכל דקדה (פי \(10\) בתדר), לא ליחידת תדר. חישוב שיפוע ישיר על ציר לינארי ייתן תוצאה שגויה לגמרי.

מבלבלים בין אפס ימני לשמאלי

שניהם נותנים אותו שיפוע הגבר (\(+20\)), אבל פאזה הפוכה. בגרף ההגבר לבדו אי אפשר להבחין ביניהם — רק הפאזה חושפת את ההבדל.

מציירים קפיצת פאזה חדה

בקירוב האסימפטוטי, פאזה של קוטב/אפס בודד עוברת בצורה ליניארית לאורך שתי דקדות (\(\omega_n/5\) עד \(5\omega_n\)), לא כמדרגה.

מיישמים את קירוב הפסגה כשאסור

\(\tfrac{1}{2\xi}\) תקף רק לזוג קטבים מבודד. אם יש אפס או קוטב אחר בקרבת התדר, יש לחשב את ההגבר המדויק במלואו.

פרק 15

סיכום

דיאגרמת בודה מתארת כיצד מערכת ליניארית משנה משרעת ופאזה של סינוס, כפונקציה של התדר. הרעיון המרכזי הוא שסקאלה לוגריתמית ודציבלים הופכים כפל של גורמים לחיבור של גרפים, וכל גורם בסיסי הופך לקווים ישרים. יש רק שמונה אבני בניין, ומי שמכיר אותן יכול לשרטט כל תמסורת שהיא — ולקרוא ממנה מידע הנדסי אמיתי.

הדרך המסודרת: לנרמל לצורה סטנדרטית, לפרק לגורמים, לשרטט כל גורם לפי הטבלה, ולחבר. ואז — לבדוק את הפאזה הסופית מול ספירת האפסים והקטבים, ואת השיפועים מול תדרי הברך.

שמונה כללי אצבע לדיאגרמת בודה

1. לוגריתם הופך כפל לחיבור — משרטטים ומחברים.

2. אפס \(\Rightarrow +20\) dB/dec, קוטב \(\Rightarrow -20\) dB/dec.

3. זוג מרוכב מכפיל בשניים: \(\pm 40\) dB/dec.

4. אפס נותן פאזה חיובית, קוטב שלילית (למעט אפס ימני/קוטב ימני).

5. תדר ברך = הצטלבות אסימפטוטות; פער \(3\) dB לקוטב בודד.

6. מעבר פאזה בודד: ליניארי מ־\(\omega_n/5\) עד \(5\omega_n\).

7. תמיד לנרמל לצורה \((1+j\omega/\omega_n)\) לפני שמשרטטים.

8. קירוב פסגה \(\tfrac{1}{2\xi}\) רק לקטבים מבודדים.

השלב הבא

אחרי דיאגרמת בודה, הצעד הטבעי הוא התמרת לפלאס — המסגרת שממנה נגזרת פונקציית התמסורת, ושמחברת בין תגובת התדר לתגובת המעבר בזמן.

מעבר להתמרת לפלאס

דיאגרמת בודה ותגובת תדר